The Gunner

tìm quy luật dãy số {1, 2, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 23, 32, 44, 56, 76, 102, 132, 174, 227}

dãy Conway 1,11,21,1211,111221, 312211,....

ví dụ 11 là do số trước nó có 1 số 1

21 là do số trước nó 11 có 2 số 1

1211 là do số trước nó có 1 số 2 và 1 số 1 nên viết thành 1211

tiếp tục 1211 có 1 số 1, 1 số 2, 2 số 1 => 111221

các số của dãy  {1, 2, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 23, 32, 44, 56, 76, 102, 132, 174, 227} là tương ứng là tổng các chữ số của từng số hạng trong dãy Conway

Gọi $S_n$ là số cạnh đơn vị không thuộc cạnh lớn của tam giác được chia thành $n^2$ tam giác đều. ta có $S_1=0, S_2=3, S_n=S_{n-1}+3(n-1)$ suy ra được $S_n=\frac{3n(n-1)}{2}$

Ta có nhận xét rằng để đánh dấu được một độ dài $m$ thì ta phải dùng $m-1$ cạnh đơn vị nối giữa những tam giác đó, ta tô màu đỏ những cạnh đó. Hơn nữa một tam giác con không có cạnh nằm trên cạnh của tam giác lớn thì sau khi đã được đánh dấu, cạnh còn lại không được chọn để nối với tam giác khác cũng không còn giá trị, ta tô màu xanh cho những cạnh này . Vì vậy để đánh dấu được $m$ tam giác ta đã phải tô màu ít nhất $m-1 +[\frac{m}{2}]$ cạnh đơn vị ( tại nếu xét một đường đi dọc theo biên của tam giác lớn thì ta có xem kẽ những tam giác có cạnh nằm trên cạnh lớn sẽ không tính cạnh đó).

Ta có $m-1 +[\frac{m}{2}] \leq  S_n=\frac{3n(n-1)}{2} $ 

suy ra: $m-1+ \frac{m-1}{2} \leq \frac{3n(n-1)}{2}$

ta được $m \leq n^2-n+1$

Không rõ là có chỗ nào nhầm lẫn không vì ở điều kiện 4,suy ra có nhiều nhất 2 bạn mua 3 tựa sách giống nhau, nếu số học sinh là nhiều nhất thì với mỗi cách mua 3 tựa sách thỏa mãn thì sẽ có 2 học sinh mua giống nhau nên số học sinh nhiều nhất phải là số chẵn.

----------------------

Xét 673 tựa sách tương ứng với 673 điểm không thẳng hàng trong không gian, mỗi tam giác nối 3 điểm tương ứng với mỗi học sinh chọn 3 tựa sách. theo các điều kiện trên ta thấy, hai tam giác bất kì phải chung đỉnh hoặc chung cạnh và chỉ có nhiều nhất 2 tam giác có cùng chung 3 đỉnh. Trước tiên ta khoan xét điều kiện 4 tức là chỉ có nhiều nhất 2 tam giác giống nhau. Ta có nhận xét sau. nếu có 4 tam giác cùng chung 1 đỉnh thì tam giác thứ 5 cũng phải chung đỉnh đó vì nếu không thì nó thành tứ giác mất rồi. Nhưng do không có điểm nào là điểm chung của tất cả các tam giác theo điều kiện 3) do đó ta xét đến yếu tó chung cạnh để tạo nên hai điểm chung khi đó sẽ ko có điểm nào là điểm chung của tất cả các tam giác. xét 3 điểm làm tam giác trung tâm, ta có mỗi điểm trong không gian tạo với ta giác này một tứ diện và có thêm 3 mặt là 3 tam tam thỏa mãn dó đó ta có nhiều nhất là 670 tứ diện chung mặt là tam giác trung tâm, tức là có thêm 2010 tam giác mới cộng với tam giác trung tâm là 2011 tam giác tương ứng với 2011 học sinh nếu thêm điều kiên 4 vào thì có nhiều nhất là 4022 học sinh

Với $a=0$ thỏa mãn, khi đó ta có song ánh $f(i)=i$

ta xét các số nguyên $a >0$.

giả sử tồn tại song ánh, ta có $f(i)=i+a$ (ta gọi là hàm cộng) hoặc $f(i)=i-a$ (gọi là hàm trừ)

Nếu $n$ lẻ xét tổng $\sum f(i)=\sum i$ do đó số hàm cộng và hàm trừ phải bằng nhau nên số hàm phải chẵn, tức là $n$ phải là số chẵn, với $n$ lẻ ta chỉ có $a=0$

Đặt $n=2k$ nếu $a>k$ thì dó $f(i)>0$ nên $f(i)=i+a$ với $i=1,..,k+1$ lúc đó số hàm chẵn nhiều hơn số hàm trừ, vô lí. DO đó $a <= k$

Với $a=1$ ta có sóng ánh như sau : giá trị của $f(i)$ chính là hoán vị của từng cặp số trong dãy ví dụ như $f(1)=2;f(2)=1;f(3)=4;f(4)=3;f(5)=6;f(6)=5;...$ (*)

Với $a=k$ thì $f(i)=i+a$ với $i=1,..,k$ và $f(i+a)=i$ với $i=1,...,k$

Bây giờ ta xét các giá trị của $a$ với $1<a<k$

Ta phân hoạch dãy ${1,2,..,2k}$ thành dãy các cấp số cộng công sai là $a$

nếu $k$ không chia hết cho $a$ thì số trong các dãy đã phân hoạch phải tồn tại ít nhất một dãy có số phần tử là số lẻ, gọi tập đó là $S$

ta có nếu $f(i) \in S$ thì $i+a \in S$ hoặc $i-a \in S$. Do đó số hàm cộng và hàm lẻ trong $S$ cũng phải là số chẵn, vô lí, suy ra $k$ phải chia hết cho $a$

tức là $n=2aq$. khi đó ta có song ánh sau. Xét trong mỗi dãy đã phân hoạch ta làm tương tự như (*). ví dụ $f(1)=a+1;f(a+1)=1;f(2a+1)=3a+1;f(3a+1)=f(2a+1)...$

Tóm lại.
$n$ lẻ thì $a=0$

$n=2k$ thì $a=0$ và các ước dương của $k$

Ps: Nhờ mod sửa hộ em latex, lâu rồi không dùng nên cũng quên vài cái

Rất may là em nói thật

Có trưa nào a thấy chu đi ăn một mình đâu nhỉ