Scientists

Có $\int_{-1}^{0}(\frac{x}{x^{2}-3x+2})^{2}dx$
$=\int_{-1}^{0}(\frac{x}{(x-1)(x-2)})^{2}dx$
$=\int_{-1}^{0}(\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-1})^{2}dx$
$=\int_{-1}^{0}(\frac{4}{(x-2)^{2}}-\frac{4}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-1)^{2}})dx$
$=\int_{-1}^{0}\frac{4}{(x-2)^{2}}d(x-2)-\int_{-1}^{0}\frac{4}{(x-1)(x-2)}dx+\int_{-1}^{0}\frac{1}{(x-1)^{2}}d(x-1)$
$=\int_{-1}^{0}\frac{4}{(x-2)^{2}}d(x-2)+\int_{-1}^{0}\frac{4}{x-1}d(x-1)-\int_{-1}^{0}\frac{4}{x-2}d(x-2)+\int_{-1}^{0}\frac{1}{(x-1)^{2}}d(x-1)$
....

Bài 83:
Có $\left\{\begin{matrix}
x^{3}-x^{2}+xy(1-y)+3=0 & \\
x^{4}+x+y+1=x^{2}y(2x-y) &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{3}-xy^{2}-x^{2}+xy+3=0 & \\
x^{4}-2x^{3}y+x^{2}y^{2}+x+y+1=0 &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x(x-y)(x+y)-x(x-y)+3=0 & \\
x^{2}(x-y)^{2}+(x+y)+1=0 &
\end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
x(x-y)=a & \\
x+y=b &
\end{matrix}\right.$
Khi đó có $\left\{\begin{matrix}
ab-a+3=0 & \\
a^{2}+b+1=0 &
\end{matrix}\right.$
Rút b theo a từ pt 2 thế vào pt1 ta sẽ tìm được nghiệm (a,b) từ đó suy ra (x,y)

Xét hàm $f(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+5$
Có $f'(x)=3x^{2}-3x-6$ với $x\in \left ( -2,0 \right )$
$f'(x)=0$ khi $x=-1$ (thỏa mãn) hoặc $x=2$ (loại)
Vẽ bản biến thiên có
$Min\sqrt{f(x)}=\sqrt{3}$ khi x=-2 ( không xảy ra dấu =)
$Max\sqrt{f(x)}=\frac{\sqrt{34}}{2}$ khi x=-1
Khi đó: $\int_{-2}^{0}dx\sqrt{3}< \int_{-2}^{0}\sqrt{x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+5}dx\leq \int_{-2}^{0}\frac{\sqrt{34}}{2}dx$
$\Rightarrow đ.p.c.m$
P/s: Cho em hỏi tại sao ở bđt thứ 2 lại không xảy ra dấu "="???

Có $A=2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+12xyz$
$=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-(xy+yz+zx))+6xyz+3(x^{2}+y^{2}+12xyz$
$=4(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)+18xyz$
Ad bđt thường dùng có x+y+z=1
Nên $9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$
Thay vào bđt trên có
$A\geq 4(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)+8(xy+yz+zx)-2$
$=4(x+y+z)^{2}-(xy+yz+zx)-2$
$\geq 4-\frac{1}{3}(x+y+z)^{2}-2=\frac{5}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 76: Có $\left\{\begin{matrix} x^{3}y(1+y))+x^{2}y^{2}(y+2)+xy^{3}=30 & \\ x^{2}y+x(1+y+y^{2})+y-11=0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3})+x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}=30 & \\ x^{2}y+xy^{2}+x+y+xy=11 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)^{2}+x^{2}y^{2}(x+y)=30 & \\ xy(x+y)+x+y+xy=11 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)(xy+x+y)=30 & \\ xy(x+y)+x+y+xy=11 & \end{matrix}\right.$
Đặt: $\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=a & \\ xy+x+y=b & \end{matrix}\right.$
Khi đó hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=30 & \\ a+b=11 & \end{matrix}\right.$
Đến đây rảnh rùi...