Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:
$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x};\\ 2,y^3.y''=1;\\ 3,y'=2x+y+4;\\ 4,y'=\sqrt{y-x+1} (1);\\ 5,y'=e^{x+y}-1;\\ 6,x^2.y''=y'^2$
Câu 4: Nhận xét $y' \geq 0;$
Đặt $z=\sqrt{y-x+1} \Rightarrow z^2=y-x+1\Rightarrow 2z.z'=y'-1 (2)$
Thay $z'=\frac{dz}{dy}.z$ vào $(2)$ ta được :
$y'-1=2z.\frac{dz}{dy}.z\Leftrightarrow z-1=2z^2.\frac{dz}{dy} (3)$
Nếu $z=1\Leftrightarrow y'=1\Leftrightarrow y=x+c;$ Thay vào (1) ta được $c=0.$ Vậy $y=x$ là một nghiệm của phương trình.
Nếu z khác 1:$(3) \Leftrightarrow dy=\frac{2z^2}{z-1}dz \\ \Leftrightarrow \int dy=\int (2z+2+\frac{2}{z-1})dz \\ \Leftrightarrow y+c=z^2+2z+2.\ln\left | z-1 \right |\\ \Rightarrow y+c=(y')^2+2.y'+2.\ln(y'-1)$
Đặt t=y'-1 (t khác 0) (4), ta có :$y+c=(t+1)^2+2(t+1)+2\ln t \Leftrightarrow y+c'=t^2+4t+2 \ln t\Rightarrow y'=2t+4+\frac{2}{t};\\$
Thay vào (4), ta có:$t=2t+\frac{2}{t}+3\Leftrightarrow t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-1\\ t=-2 \end{bmatrix}$
Với $t=-1$ , khi đó y'=0 ->y=c.Thay vào (1) ta được $y=x-1$ ( vô lí)
Với $t=-2$ -> y'=-1 ( vô lí)
Trường hợp $y+c=(y')^2+2y'+2.\ln(1-y')$ Làm tương tự, ta thấy vô nghiệm.
Vậy $y=x$ là nghiệm duy nhất của bài toán.
----------------------------------------------
Chú nghiêm ơi, chú xem thử làm như trên đúng chưa ?? Nếu đúng cho cháu 10 likes nha...