caybutbixanh

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Đăng ký: 01-06-2012
Offline Đăng nhập: 10-08-2021 - 11:30

Tìm kiếm

Giới thiệu

$\frac{caybutbixanh}{02-02-1998}$

BÀI 1 :Cho $x,y,z\in (0,1)$ thoã điều kiện xy+yz+zx=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

Lời Giải :

Ta biết rằng nếu hai đò thị y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau tại x$_{o}$ thì tồn tại một khoảng $(\alpha ;\beta )$ chứa x$_{o}$ .sao cho trên khoảng đó, đò thị này nằm dưới đồ thị kia, tức là

$f(x)\geq g(x),\forall x\varepsilon (\alpha ;\beta )$

hoăc $f(x)\leq g(x),\forall x\varepsilon (\alpha ;\beta )$

Sử dụng tính chất này , ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức dạng như sau :

Cho các số thực $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\varepsilon D$ thoả mãn

$g(a_{1})+g(a_{2})+...+g(a_{n})\geq (\leq )ng(m)$, Với m$\varepsilon D$.Chứng minh rằng:

$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})\geq (\leq )nf(m)$

Để giải bài toán này , ta cần tìm các số thực a ,b sao cho đồ thị hàm số y=f(x) tiếp xúc với đò thị hàm số y=ag(x)+b tại x$_{o}$=m

Tức là hệ phương trình:

$\begin{cases} & \text{ } f(x)=ag(x)+b \\ & \text{ } f^{'}(x)=ag^{'}(x) \end{cases}$ có một nghiệm x$_{o}$=m.

Dựa vào điều này ta tìm được a,b.Sau đó chứng minh đò thị này nằm dưới hoặc nằm trên đồ thị kia khoảng $(\alpha ;\beta )$ nào đó có thể

Đôi khi, ta chỉ cần đồ thị hàm số y=f(x) nằm dưới (hhoặ nằm trên) đồ thị hàm số y=ag(x)+b trên khoảng $(\alpha ;\beta )$ (haặc đoạn $[\alpha ;\beta ]$) cần thiết, mà không cần tiếp xúc.

+)Quay lại vơí bài toán

Ta dự đoán dấu '=' xẩy ra tại tâm ta sẽ tìm a,b sao cho f(x)=$\frac{x}{1-x^{2}}\geq ax^{2}+b=g(x)$

Hại đồ thị này tiếp xúc nhau tại $x_{o}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi

$\begin{cases} & \text{ } \frac{x}{1-x^{2}}=ax^{2}+b \\ & \text{ } \frac{x^{2}+1}{(1-x^{2})^{2}}=2ax \end{cases}$ (Khi x=$\frac{1}{\sqrt{3}})$

Giải hệ này ta tìm được a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,b=0

Vậy ta cần phải chứng minh

$\sum \frac{x}{1-x^2}\geqslant \sum \frac{3x^2\sqrt{3}}{2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $

BÀI 2: Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả $a+b+c =6$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})$$

Lời Giải :

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Khi đó ta có các đánh giá $b^{2}+c^{2}\leq \left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2}$,$a^{2}+c^{2}\leq \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}$ và $a^{2}+b^{2}\leq \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}+\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2}$
Khi đó
$$\Rightarrow P\leq \left [ \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}+\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2} \right ]\left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2}$$
Đặt $x=a+\frac{c}{2};y=b+\frac{c}{2}\Rightarrow x+y=6$.
$$P=x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )$$
$$=\frac{1}{2}.xy.2xy.(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{2}.\frac{(x+y)^{2}}{4}.\frac{\left ( x+y \right )^{4}}{4}=\frac{6^{6}}{2^{5}}=1458$$
KL $P_{max}=1458 $. Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $(a,b,c)$ có một số bằng $0$, hai số còn lại bằng $3$

------------------------------+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------

Bài 3:

phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương

Gọi số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $k$.

Đặt $x'=x-1$ ; $y'=y-1$ ; $z'=z-1$

$\Rightarrow k$ cũng là số nghiệm tự nhiên của pt $x'+2y'+3z'=2007$ (1) ($x',y',z'\in \mathbb{N}$)

Lại đặt $m=x'+y'+z'$ ; $n=y'+z'$ ; $p=z'$

$\Rightarrow k$ là số nghiệm tự nhiên của pt $m+n+p=2007$ thỏa mãn điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$

Xét pt $m+n+p=2007$ (2)

Nếu chưa xét đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì pt này có tất cả $C_{2009}^{2}$ nghiệm tự nhiên, trong đó :

+ Có đúng $1$ nghiệm thỏa mãn $m=n=p$

+ Có đúng $1003.C_{3}^{1}=3009$ nghiệm mà trong $3$ số $m,n,p$ có đúng $2$ số bằng nhau.

+ Có $C_{2009}^{2}-1-3009=2014026$ nghiệm mà trong đó $m,n,p$ khác nhau từng đôi một (suy ra có $\frac{2014026}{3!}=335671$ cách chọn $m,n,p$ sao cho $m> n> p$)

Nếu tính đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì số nghiệm tự nhiên của pt (2) là : $1+1003+335671=336675$

Vậy số nghiệm nguyên dương của pt đã cho là $k=336675$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hỏi :trong phép tính vi phân dy=df(xo)=f'(xo)dx thì dx có nghĩa là gì? Ví dụ dy=3dx thì dx có nghĩa gì?

Trả lời :Theo định nghĩa vi phân :

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $(a;b)$, có đạo hàm tại $x_{0}\in(a;b)$ và một số gia $\Delta x$ nào đó.

Tích $f'(x_{0}).\Delta x$ được gọi là vi phân của hàm $f(x)$ tại $x_{0}$ ứng với số gia đã cho, và ký hiệu là $dy$ (hay $df(x_{0})$)

Ví dụ : $y=f(x)=x^2+3$ $\Rightarrow dy=d(x^2+3)=(x^2+3)'\Delta x=2x\Delta x$

Trường hợp đặc biệt $y=x$ $\Rightarrow dy=d(x)=dx=(x)'\Delta x=1.\Delta x=\Delta x$

Như vậy $d(x^2+3)$ ở trên có thể viết là $2xdx$

Chú ý :

$\Delta x$ là số gia của biến số $x$, và cũng là vi phân của hàm số $y=x$, vì ta có $dx=\Delta x$ (hai cái này đồng nhất với nhau, nhưng cách viết $dx$ thông dụng hơn)

$\Delta y$ là số gia của hàm số ; $dy$ là vi phân của hàm.Hai cái này nói chung là khác nhau (trừ trường hợp $y=f(x)$ là hàm hằng hoặc hàm bậc nhất)

Cũng từ cách viết $dy=df(x)=f'(x)dx$ mà đạo hàm hàm số $y=f(x)$ còn có cách viết khác là $\frac{d(f(x))}{dx}$ hay $\frac{dy}{dx}$

Còn trường hợp $y=3x-5\Rightarrow dy=d(3x-5)=3dx$.Điều này có nghĩa là vi phân hàm $y=3x-5$ (tại bất cứ điểm nào và ứng với số gia nào đó) gấp $3$ lần số gia đó, hoặc gấp $3$ lần vi phân hàm $y=x$ (tại bất cứ điểm nào và ứng với số gia nói trên).

Bài viết hay :Ứng dụng của bất đẳng thức dạng đạo hàm