tim1nuathatlac

Bài toán: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

 

 

$\frac{xz}{y^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}$

Bài toán: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=6\left ( ab+bc+ca \right )$

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\sqrt{2\left ( a+b+c \right )}-\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

$\left ( 1-y \right )\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=x+2y+3xy$

$\sqrt{y+1}+\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=2y-x$

Cho $a,b,c,d$ là các số thực. CMR:

 

$\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{c-d}{c+d}+\frac{ad+bc}{ac-bd} \right |\geq \sqrt{3}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $xy+xz+yz=1$. và 0<x,y,z<1

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}$

Nick này quen quen...

 

Áp dụng: 

$\left ( \sum xy \right )^{2}\geq 3xyz\left ( x+y+z \right )$ & $xyz\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

 

Ta có: 

$P=\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}-x \right )\left ( \frac{1}{y}-y\right )\left ( \frac{1}{z}-z \right )}\geq ^{Am-Gm}\frac{27}{\left ( \sum \frac{1}{x}-\sum x \right )}^{3}$

 

$\geq \frac{27}{\left ( \frac{1-xyz\left ( x+y+z \right )}{xyz} \right )}^{3}\geq \frac{27}{\left ( \frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{9}} \right )}^{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$

...............

                                     Dấu = xảy ra chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho a,b >0,

Chứng minh rằng: 

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}$

 

Bài này chỉ đơn thuần là sử dụng bđt AM-GM 2 số thôi.

 

Ta viết lại bđt dưới dạng:

$a^{3}+b^{3}+7ab\left ( a+b \right )\geq 8ab\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}$.

 

Xét: 

              $VP=8\sqrt{ab}\sqrt{\left ( a^{2}+b^{2} \right )2ab}\leq ^{Am-gM}4\sqrt{ab}\left ( a+b \right )^{2}$.

 

              $VT=\left ( a+b \right )\left [ \left ( a+b \right )^{2}+4ab \right ]\geq ^{Am-GM}\left ( a+b \right )4\sqrt{ab}\left ( a+b \right )\geq VP$.

 

$\Rightarrow \square .$

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

      $0\leq a;b;c\leq 2$ và a+b+c=3

    Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

 

Theo hướng đại học, ta sẽ đưa bài này về 1 biến...sau đó đánh giá...~!

 

Giả sử : $a\geq b\geq c$   

 

Ta có: 

 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq a^{3}+b^{3}+cb^{2}=a^{3}+b^{2}\left ( b+c \right )=a^{3}+\left ( 3-a-c \right )^{2}\left ( 3-a \right )\leq a^{3}+\left ( 3-a \right )^{3}$

 

Như vậy chỉ cần chỉ ra được rằng

$a^{3}+\left ( 3-a \right )^{3}\leq 9$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-2 \right )\left ( a+1 \right )\leq 0$

 

Kết thúc chứng minh.

Cho x,y thay đổi thỏa mãn 0<x<1 ; 0<y<1 . CMR: $x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Quay về với THCS!

 

Áp dụng C-S dạng 6 số:

 

$VT=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{\left ( 3x^{2}+3y^{2} \right )\left ( 1+1-y^{2}+1-x^{2} \right )}$

 

$=\sqrt{3\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( 3-x^{2}-y^{2} \right )}\leq \sqrt{3\left ( \frac{x^{2}+y^{2}+3-x^{2}-y^{2}}{2} \right )^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.\square$

 

Dấu = xảy ra khi  $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$

Chứng minh : $$\frac{1}{xy(4-x^2y^2)}+\frac{1}{yz(4-y^2z^2)}+\frac{1}{zx(4-z^2x^2)}\geq 1.$$

 

Buổi chiều dk nghỉ..chỉ có ngủ là thik.

 

$VT=\sum \frac{1}{xy\left ( 2-xy \right )\left ( 2+xy \right )}\geq \sum \frac{1}{\frac{\left ( xy+2-xy \right )^{2}}{4}\left ( 2+xy \right )}=\sum \frac{1}{2+xy}\geq \frac{9}{6+\sum xy}$

 

Dễ thấy:

$xy+yz+zx\leq 3\Rightarrow VT\geq 1.\square$

1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?

Cách này bạn coi xem có được ko?

 

$gt\Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}$   thay vào P ta có được:

 

$P=\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}-\frac{2\left ( 1-xz \right )^{2}}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( z^{2}+1 \right )}$

 

$=2+\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}z^{2}+x^{2}+z^{2}+1}$

 

Mạt khác, ta chỉ ra được:

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

 

 

 

-----------------------------------------

 

Chọn ra con số $\frac{4}{3}$ 

 

 

Giả sử ta có 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq t$

 

$\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+tz^{2}+x^{2}z^{2}\left ( t+4 \right )-4xz+\left ( t-1 \right )\geq 0$

 

Để có max thì ta phải biến đổi được bất đẳng thức trên về dạng $A^{2}+B^{2}\geq 0$ ... tức là có phép biến đổi sau:

 

$\Leftrightarrow \left [ x\sqrt{t-1}-z\sqrt{t} \right ]^{2}+\left [ xz\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1} \right ]^{2}\geq 0$

 

 

Như vậy, đồng nhất hệ số thì ta cần chọn $t$ sao cho $\sqrt{t\left ( t-1 \right )}+\sqrt{\left ( t-1 \right )\left ( t+4 \right )}=2$ 

 

Đến đây thì ra oy` nhá, $t=\frac{4}{3}$ , thế là có max oy`.$\square$

vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này

 

Chọn ra con số $\frac{4}{3}$ đơn giản mà bạn.

 

Giả sử ta có 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq t$

 

$\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+tz^{2}+x^{2}z^{2}\left ( t+4 \right )-4xz+\left ( t-1 \right )\geq 0$

 

Để có max thì ta phải biến đổi được bất đẳng thức trên về dạng $A^{2}+B^{2}\geq 0$ ... tức là có phép biến đổi sau:

 

$\Leftrightarrow \left [ x\sqrt{t-1}-z\sqrt{t} \right ]^{2}+\left [ xz\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1} \right ]^{2}\geq 0$

 

 

Như vậy, đồng nhất hệ số thì ta cần chọn $t$ sao cho $\sqrt{t\left ( t-1 \right )}+\sqrt{\left ( t-1 \right )\left ( t+4 \right )}=2$ 

 

Đến đây thì ra oy` nhá, $t=\frac{4}{3}$ , thế là có max oy`.$\square$

Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

Cách này bạn coi xem có được ko?

 

$gt\Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}$   thay vào P ta có được:

 

$P=\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}-\frac{2\left ( 1-xz \right )^{2}}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( z^{2}+1 \right )}$

 

$=2+\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}z^{2}+x^{2}+z^{2}+1}$

 

Mạt khác, ta chỉ ra được:

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

Phủ định hay khẳng định bài toán sau:

 

Bài toán:  Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR 

 

$\frac{ab}{ac+b^{2}}+\frac{bc}{ab+c^{2}}+\frac{ca}{bc+a^{2}}\leq \frac{3}{2}$

 

 

 

Cách 2:

 

Ta chuẩn hóa $a+b+c=3$.

 

Lúc này điều phải chứng minh có thể viết lại thành     

 

$\sum \frac{\left ( 3-2a \right )^{2}}{\left ( 3-a \right )^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

 

Mặt khác ta lại chỉ ra được bất đẳng thức phụ sau:

 

$\frac{\left ( 3-2a \right )^{2}}{\left ( 3-a \right )^{2}+a^{2}} \geq \frac{18}{25}\left (1-a \right )+\frac{1}{5}$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^{2}\left ( 2a+1 \right )\geq 0$

 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.$\square$

Lâu lắm rồi không đưa người yêu lên...

 

Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CM

 

$\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ca}\geq \frac{3}{5}$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

 

                   Đề thi thử đại học lần 1 khối A, $A_{1}$ tỉnh Vĩnh Phúc.