Beautifulsunrise

Cho đường tròn (O). Cung BC=$120^o$. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Ở phía ngoài $\Delta ABC$ vẽ $\Delta ACD$ đều.
Tìm tập hợp điểm D

 image.jpg   16.91K   100 Số lần tải
Gợi ý:
Giả sử đường thẳng DA cắt lại đường tròn (O) tại E. Ta có: $\widehat{EBC}=60^0 $ nên E là điểm chính giữa cung lớn BC. Quỹ tích điểm D là cung chứa góc $60^0$ dựng trên đoạn thẳng CE.

Góp mấy bài cho topic sống lại nè ^^:
Bài 64: Chứng minh $2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ chia hết cho $1979,$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 65: Chứng minh $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}.$
Bài 66: Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+100^3$ là số chính phương.
Bài 67: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $a$ sao cho $z=n^4+a$ không là số nguyên tố với mọi $n$ nguyên dương.
Bài 68: Tìm số dư khi chia $9^{10^{11}}-5^{9^{10}}$ cho $13.$
___________
P/s: Một số bài ở trên không dùng đồng dư nhé

Gợi ý:
Bài 64: Gọi biểu thức đã cho là A. Ta có: A = $2000^{2n}-21^{2n} - (1980^n -1)=1979.M-1979.N \vdots 1979$.
Bài 65: Gọi biểu thức đã cho là B. Ta có: B = $59.5^n+8(64^n-5^n)=59.H+59.K \vdots 59$.
Bài 66: BT này dùng PP quy nạp chứng minh thì sẽ dễ hơn: $1^3+2^3+...+n^3= \left( {\frac{n(n+1)}{2}} \right)^2$ thay n = 100 vào là có ngay đpcm.
Bài 67: BT này thật ngộ nghĩnh. Với mỗi n lẻ ta sẽ có vô số số tự nhiên lẻ a lớn hơn 1 thỏa mãn yêu cầu BT. Với mỗi n chẵn ta cũng có vô số số chẵn a lớn hơn 0 thỏa mãn yêu cầu BT. => đpcm.
Bài 68: Đặt biểu thức đã cho là A. Ta có: $9^3$ chia 13 dư 1 và $5^4$ chia 13 dư 1 (may quá). Do đó: A = $9^{3k+1}-5^{4k+1}=9(13G+1)-5(13J+1)=13R+4$ chia cho 13 dư 4.

Cho đoạn thẳng $\text{AB} = 2\text{a}$ cố định. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $\text{AB}$ vẽ $2$ tia $\text{Ax}$ và $\text{By}$ cùng vuông góc với $\text{AB}$. Qua một điểm $\text{O}$ cố định thuộc $\text{AB}$ luôn có hai đường thẳng vuông góc thay đổi với nhau cắt $\text{Ax}$ và $\text{By}$ lần lượt tại $\text{C}$ và $\text{D}$. Xác định vị trí của $\text{C , D}$ sao cho diện tích tam giác $\text{COD}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

 CB.JPG   10.51K   99 Số lần tải
Gợi ý:
Đặt BD = x. Tính được AC theo x. Từ đó tính được OC, OD theo x. BT đưa về tìm GTNN của 1 tam thức bậc hai.

Cho đường thẳng d nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ OA vuông góc với d tại A. Từ A kẻ các cát tuyến d1,d2 lần lượt cắt đường tròn (O) tại B,C và D,e (B giữa A và C, D giữa A và E). Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng BE và DC với đường thẳng d. Chứng minh tam giác OMN cân.

 CB.JPG   29.17K   122 Số lần tải
Gợi ý:
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của CD, BE. Ta có 2 tam giác AHD và AKB đồng dạng (cgc) $\Rightarrow \widehat{AON} = \widehat{AHN} = \widehat{AKM} = \widehat{AOM} \rightarrow$ đpcm.
Chú ý: Thực chất BT này là định lí con bướm cho đường tròn.

Đóng góp một bài toán cho topic nào (Dạo này thấy trầm quá ^^):
Bài 136: Cho $\Delta ABC$. Xét 1 đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$.CHứng minh rằng $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ đồng quy $\Leftrightarrow AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy

 PVD.JPG   25.06K   102 Số lần tải
Gợi ý:
Ta có: $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy $\Leftrightarrow \frac{A_1B}{A_1C}.\frac{B_1C}{B_1A}.\frac{C_1A}{C_1B} = 1 \Leftrightarrow \frac{A_1B}{C_1B}.\frac{B_1C}{A_1C}.\frac{C_1A}{B_1A} =1 \Leftrightarrow \frac{C_2B}{A_2B}.\frac{A_2C}{B_2C}.\frac{B_2A}{C_2A} =1$
$ \Leftrightarrow \frac{C_2B}{C_2A}.\frac{B_2A}{B_2C}.\frac{A_2C}{B_2C}=1 $
$ \Leftrightarrow AA_2, BB_2, CC_2 $đồng quy.