Đến nội dung

binvippro

binvippro

Đăng ký: 13-06-2012
Offline Đăng nhập: 13-12-2018 - 11:41
**---

Trong chủ đề: Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 lần thứ XX năm 2014

06-03-2016 - 14:52

Bỏ câu đa thức, hơi tiếc....(nói trắng là ko ôn phần này :D)

Nhìn chung:

Câu 1: Thay $y^2$ bởi $1-x^2$ vào pt 2 ta được $x^2.y^3=...$ (1) rồi bình phương lên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số..... (để ý từ (1) suy ra y >0)

Câu 2: ý a) dùng quy nạp mười mươi.

ý b) ta dùng bất đẳng thức kẹp phụ $ln(1+\frac{1}{n+k})\leq \frac{1}{n+k} \leq ln(1+\frac{1}{n+k-1})$ và thu được lim= ln2.

Câu 3 (bỏ ý 2): ý a) thì ta dùng phép đối xứng trục $O_{1}O_{2}$ để cm ABDC là hình thang cân.

Câu 4: như trên.

Câu 5: Ta có $2014^{n}(2014^{m-n}-1)\vdots 100$ mà $2014^{m-n}-1$ là số lẻ nên $2014^{n}$ chia hết cho 4, suy ra n ko nhỏ hơn 2. Bây giờ ta xét m-n lẻ thì ta suy ra $2014^{m-n}-1$ tận cùng khác 5 và 0 nên ko chia hết cho 25. Do đó m-n chẵn, Khi đó ta đặt m-n= 2t (t nguyên dương).

Ta có: $2014^{2t}-1\vdots 25\Leftrightarrow 14^{2t}-1 \vdots 25\Leftrightarrow (15-1)^{2t}-1\vdots 25\Leftrightarrow -30t \vdots 25$ (khai triển nhị thức Newton ta thấy các số hạng thứ 1 đến thứ 2t - 2 đều chứa nhân tử $15^2$ chia hết cho 25. Suy ra t chia hết cho 5, hay t ko nhỏ hơn 5, suy ra m-n ko nhỏ hơn 10.

Do đó m+n = (m-n)+ 2n ko nhỏ hơn 10 + 2.2 = 14 khi m = 12 và n = 2.

Câu 6: Gần giống cách của chú Hoàng, nhưng do hoảng quá nên ngồi chia trường hợp ra xét (nhiều hơn chú Hoàng.... :D

bạn có thể nói rõ bài dãy được không ?


Trong chủ đề: CM: $\frac{u_{p+1}+1}{p+1}$...

27-12-2015 - 09:21

Ta xét phương trình Pell loại 1 sau: $x^2-(p^2-1)y^2=1$
Bộ nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $(p,1)$ cho nên, phương trình này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1; x_{2}=p, x_{n+2}=2px_{n+1}-x_{n} \\ y_{1}=0; y_{2}=1, y_{n+2}=2py_{n+1}-y_{n} \end{matrix}\right.$
Vậy dãy $u_{n}$ chính là dãy $x_{n}$.
Khi đó $x^2-(p^2-1)y^2=1 \Leftrightarrow \frac{x_{p+1}+1}{p+1}.\frac{x_{p+1}-1}{p-1}=(y_{p+1})^2$
Từ đây ta quy nạp $\frac{x_{p+1}+1}{p+1}$ và $\frac{x_{p+1}-1}{p-1}$ là số nguyên sẽ suy ra điều phải chứng minh.

từ đây không đủ suy ra dpcm bạn à 


Trong chủ đề: TOPIC ôn luyện VMO 2016

03-10-2015 - 18:12

mình thấy topic ôn luyện VMO 2015 sao mạnh mẽ mà topic này ít người hưởng ứng vậy  :icon6:


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN KHTN VÒNG 1, NGÀY 2

16-09-2015 - 17:44

Nếu $23^{2k} \parallel VT$ mà $23^{2k} \equiv 1 \pmod{4}, VT \equiv 3 \pmod{4}$ ta suy ra tồn tại một ước nguyên tố $p \; (p \ne 23)$ của $VT$ sao cho $p \equiv 3 \pmod{4}$ Từ đây ta suy ra tiếp $p|46,p |y$ dẫn đến $p=23$, mâu thuẫn. Vậy $23^{2k+1} \parallel VT$.

còn cái này sao bạn ?  :D


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN KHTN VÒNG 1, NGÀY 2

16-09-2015 - 12:17

Lời giải. Phương trình tương đương với $$\begin{eqnarray} x^{2015}+1=y^{2016}+46^2 \\ (x+1) \left( x^{2014}-x^{2013}+ \cdots +x^2-x+1 \right)=46^2+y^{2016} \end{eqnarray}$$

Nếu $x \equiv 0 \pmod{4}$ thì từ phương trình ban đầu ta suy ra $2 \nmid y$ và $y^{2016} \equiv 5 \pmod{8}$, mâu thuẫn vì $a^4 \equiv 1 \pmod{8}$ với mọi $a$ lẻ.

 

Nếu $x \equiv 1 \pmod{4}$ thì $VT \equiv 2 \pmod{4}$, mâu thuẫn vì $4|VP$.

 

Nếu $x \equiv 2 \pmod{4}$ thì $x+1 \equiv 3 \pmod{4}$. Do đó tồn tại số nguyên tố $p \equiv 3 \pmod{4}, p|x+1$. Ta suy ra $p|46^2+y^{2016}$ dẫn đến $p|46$. Như vậy $p=23$. Khi đó $23^2 \parallel VP$ nhưng $23^{2k+1} \parallel VT$, mâu thuẫn.

 

Nếu $x \equiv 3 \pmod{4}$ thì $A=x^{2014}-x^{2013}+ \cdots +x^2-x+1 \equiv 3 \pmod{4}$. Do đó cũng tồn tại số nguyên tố $p \equiv 3 \pmod{4}$ là ước của $A$. Do đó $p|46^2+y^{2016}$ suy ra $p|46,p|y^{1008}$. Ta suy ra $p=23$. Khi đó $23^2 \parallel VP$ nhưng $23^{2k+1} \parallel VT$, mâu thuẫn.

 

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

 

 

Lời giải cho bài toán trên đã sử dụng các bổ đề chính sau:

 

Bổ đề 1. Nếu $A \equiv 3 \pmod{4}$ thì tồn tại ước nguyên tố $p$ của $A$ sao cho $p \equiv 3 \pmod{4}$.

Bổ đề 2. Nếu $p|a^2+b^2, p \equiv 3 \pmod{4}$ thì $p|a,p|b$.

Bổ đề 3. $\gcd \left( \frac{a^n+b^n}{a+b},a+b \right)= \gcd (n( \gcd (a,b))^{n-1},a+b)$ với $n$ lẻ.

bạn giải thích chỗ đó được không ?