lollipop97

1. Tìm GTNN $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2} + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

2. Cho x,y,z $\geq 0$, x³ + y³ +z³ = $\frac{4}{3}$. Tìm min

P= x² + 2y² +3z²

3. Cho a,b,c >0, a+b+c=1

Tìm min P = 14(a² +b²+c²) + $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}$

Chú ý : Kẹp $ vào đầu và cuối đoạn công thức

a) (5x+2)$\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ + 5x-7 = 0
b) 32x² + 32x - 20 = $\sqrt{2x+15}$

Cho a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. CMR:
\[\left| {\frac{{a - b}}{c}{\rm{ }} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right| \le {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\]

Ta có $\frac{OM}{AB} = \frac{DM}{AD}$
$\frac{ON}{AB} = \frac{CN}{BC}$
Từ đó => $\frac{OM}{AB} + \frac{ON}{AB} = \frac{DM}{AD} + \frac{CN}{BC}$
=> $\frac{MN}{AB} =$ $\frac{DM}{AD} + \frac{CN}{BC}$ (1)
Chứng minh tương tự ta có $\frac{MN}{CD} = \frac{AM}{AD} + \frac{BN}{BC}$ (2)
Từ (1) và (2) => $\frac{MN}{AB} + \frac{MN}{CD} = \frac{DM}{AD} + \frac{AM}{AD} + \frac{CN}{BC} + \frac{BN}{BC}$
=> $\frac{MN}{AB} + \frac{MN}{CD} = 2$
=> $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{MN}$ (đpcm)

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$
Đẳng thức cần chứng minh tương đương $\frac{1}{AB} = \frac{1}{MN}$
Nhưng đẳng thức này lại đúng vì $MN$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD \Rightarrow MN = AB$
Đpcm.

Đề là hình thang mà ?

$Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết M=\left | x-2012 \right |+\left | x-2013 \right |$

M = $\left | x-2012 \right | + \left | x-2013 \right | = \left | x-2012 \right | + \left | 2013 - x \right | \geq \left | x-2012 + 2013-x \right | = 1$
Dấu "=" xảy ra <=> x $\geq$ 2013

Chém nhanh nào,giả thiết cho ta:
$x^2+(y-2)^2+(z+1)^2\leq 5$
$F=2x+3y-2z=2x+3(y-2)-2(z+1)+8$
Dùng Bunyakovsky 3 số ta có :
$(2x+3(y-2)-2(z+1))^2\leq (4+9+4)(x^2+(y-2)^2+(z+1^2))\leq 17.5=85\Rightarrow -\sqrt{85}+8\leq F\leq \sqrt{85}+8$

Phải là (x-2)² + y² + (z+1)² $\leq$ 5 chứ nhỉ ?

Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{MD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x+y= 2 và hằng số k thuộc Z* . Chứng minh rằng $x^{k}y^{k}(x^{k}+ y^{k}) \leq 2$

$2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Đặt $ \sqrt{x+1} =a ; \sqrt{x^{2}-x+1} =b$
$\Rightarrow a^2+b^2 = x^2 +2 ; ab = \sqrt{x^{3}+1}$
Pt đã cho $\Leftrightarrow 2(a^2 +b^2) = 5ab \Leftrightarrow (2a-b)(2b-a) = 0 => 2a = b$ hoặc $2b = a$
thay $x$ vào giải từng trường hợp là xong

1. Dùng bất đẳng thức
$\sqrt{3x^{2}+ 6x + 7} = \sqrt{3 (x+1)^{2} + 4} \geq \sqrt{4} = 2$
( Dấu "=" xảy ra khi x = -1)
Tương tự: $\sqrt{5x^{2}+ 10x + 14} = \sqrt{5 (x+1)^{2} + 9} \geq \sqrt{9} = 3$
( Dấu "=" xảy ra khi x = -1)
Từ đó => VT $\geq 2+3 = 5$ ( Dấu "=" xảy ra khi x = -1) (1)
Mặt khác VP = $4 - 2x - x^{2} = 5 - (x +1)^{2} \leq 5$ ( Dấu "=" xảy ra khi x = -1) (2)
Từ (1) và (2) => VT = VP = 5 khi x = -1
Vây tập nghiệm của phương trình là S= {-1}

Câu 5: Mình làm thế này không biết đúng không nữa !!
Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a$a_{2012} \geq a_{2011} \geq a_{2010} \geq ...\geq a_{2} \geq a_{1}$
Giả sử có 2008 số thực dương => có ít nhất 4 số thực âm
=> $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ $\leq$ 0
Theo đề bài $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{1008} > a_{1009} + a_{1010} +... + a_{2012}$
Mà $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ $\leq$ 0
=> $a_{5} + a_{6} + ... + a_{1008} \geq a_{1} + a_{2} +...+ a_{1008} > a_{1009} + a_{1010} + ... + a_{2012}$
Mặt khác a$a_{2012} \geq a_{2011} \geq a_{2010} \geq ...\geq a_{2} \geq a_{1}$
=> $a_{1009} + a_{1010} + ... a_{2012} \geq a_{5} + a_{6} + ... + a_{1008}.$
Từ đó => mâu thuẫn
Vậy phải có ít nhất 2009 số thực dương

2a) Đặt $\frac{a}{x^{3}} = \frac{b}{y^{3}} = \frac{c}{z^{3}} = k^{3}$
Khi đó $a = k^{3}x^{3}$ ; $b = k^{3}y^{3}$ : $c = k^{3}z^{3}$
VT = $\sqrt[3]{\frac{a}{x^{2}} + \frac{b}{y^{2}} + \frac{c}{z^{2}}}$ = $\sqrt[3]{\frac{k^{3}x^{3}}{x^{2}}+ \frac{k^{3}y^{3}}{y^{2}}+ \frac{k^{3}z^{3}}{z^{2}}}$
= $\sqrt[3]{k^{3}x + k^{3}y + k^{3}z}$ = $\sqrt[3]{k^{3}(x + y + z)}$ = $\sqrt[3]{k^{3}}$ (do x + y + z =1)
= k
VP = $^{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}} = \sqrt[3]{k^{3}x^{3}} + \sqrt[3]{k^{3}y^{3}} + \sqrt[3]{k^{3}z^{3}}$
= kx + ky + kz = k(x +y +z) = k (do x +y +z =1)
Từ đó => VP =VT (cùng = k) => đpcm