Đề : Cho đường tròn tâm O , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B và C ) và I là giao điểm của AM vời CD a/ Chứng minh tứ giác OIMB nội tiếp b/ Chứng minh hai tam giác AIC và AMC đồng dạng c/ Gọi K là điểm đối xứng của I qua BC . Chứng minh BMK thẳng hàng
a/Ta có :IMB = 1v (góc nội tiếp chắn cung 1/2 đường tròn) ICB= IMB(=1v) Tứ giác OIMB có đỉnh M, O cùng nhìn IB dưới 1 góc vuông ; O,I,M,B cùng nằm trên đường tròn đường kính IB hay tứ giác OIMB nội tiếp đt đk IB
b/Ta có : đường kính AB, CD vuông góc với nhau -; cung AB và AC là cung 1/4 đường tròn -;AMC =AIC =45 file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gifvà file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gifcó AMC=AIC (cmt) MAC chung ;file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gifđồng dạng file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif
c/ Gọi F là giao điểm IK và BC ; BF file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gifIK (tính chất đối xứng) G là giao điểm IM và BF hay BFI= 1v IFMB nội tiếp ; MIF=FMK (cc cung FM) Theo tính chất đối xứng MIF= IKG(1) Cm được file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gifcân BF là fân giác FBK; IBF=FBK FBK= IMF ;IMF = MIF(=FBK) (2)
Từ (1) và (2) IMF=IKG Tứ giác FKMG có định M, K liên tiếp cùng nhìn FG dưới 1 góc nên M,F,G,K cùng nằm trên đt hay tứ giác FKMG nội tiếp ; GMK= 90(bù với GFK Ta có : BMK= IMB+IMK =1v + 1v = 180 nên B,M,K thẳng hàng