defaw

Bài 3: Giải hệ PT:
$$\left\{ \begin{array}{l}x + y - z = 7\\{x^2} + {y^2} - {z^2} = 37\\{x^3} + {y^3} - {z^3} = 1\end{array} \right.$$
Giải: Từ $x + y - z = 7\Rightarrow x + y = 7 + z\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2+14z+49$
$\Rightarrow x^2+y^2-z^2=49+14z-2xy\Rightarrow xy=6+7z$.
Và từ ${x^3} + {y^3} - {z^3} = 1\Rightarrow x^3+y^3=z^3+1\Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=z^3+1\Leftrightarrow (7+z)(37+z^2-6-7z)=1+z^3\Leftrightarrow z=12$.
Thay vào hệ phương trình đầu, ta tìm được $(x;y)\in {(9;10),(10;9)}$
$\cdot$Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $(x;y;z)=(9;10;12)$ hoặc $(x;y;z)=(10;9;12)$.

Bài 34 (Lớp 8): Cho tam giác ABC có AM, BN là các đường trung tuyến và AD, BE là các đường phân giác.
a) Nếu $\angle A > \angle B$ thì AM < BN và AD < BE.

Bài 34:

a)Ta có: $BE^2=BC\cdot BA - EC\cdot EA$ và $AD^2=AB\cdot AC - DB\cdot DC$.
Ta cần chứng minh $a>b$ thì $AD<BE$, tương đương với
$AB\cdot AC - DB\cdot DC < BC\cdot BA - EC\cdot EA$
$\Leftrightarrow bc - \frac{bca^2}{(b+c)^2} < ac - \frac{acb^2}{(a+c)^2}$ (*)
Ta có: $ac > bc$ và $(a+c)^2>(b+c)^2$; $bca^2>acb^2$ nên ta có (*)
Vậy $AD < BE$.

Ta có $x_{i}$ khác $0$ với $i=1,2,...,1992$.
Từ hai phương trình sau:
$x_{1}x_{2}...x_{1989}-x_{1990}x_{1991}x_{1992}=1$ và $x_{1}x_{2}...x_{1990}-x_{1991}x_{1992}=1$, ta suy ra:
$1-(x_{1990}x_{1991}x_{1992})^2=x_{1990}x_{1991}x_{1992}$ (1)và
$1-(x_{1991}x_{1992})^2=x_{1991}x_{1992}$ (2)
Từ (1), ta suy ra $x_{1990}x_{1991}x_{1992}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (3)
Từ (2), ta suy ra $x_{1991}x_{1992}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (4)
Từ (3) và (4), ta suy ra $x_{1990} = 1$ hoặc $x_{1990} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$ hoặc $x_{1990} = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.

1, (a)Điểm I là trung điểm cuả KE thì thoả mãn yêu cầu đề bài.
(b)$\triangle KAH \sim \triangle KBC$, suy ra $KC\cdot KA = KH\cdot KB$
(c1)Từ (b) ta còn suy ra $\triangle KCH \sim \triangle KBA$, suy ra $\angle CHK = \angle BAK = 45^{\circ}$.
(c2)Hạ $EP \perp AB$, ta chứng minh :
$\triangle BEP \sim \triangle BAC$, suy ra $BE\cdot BC = BA\cdot BP$
$\triangle AEP \sim \triangle ABH$, suy ra $AE\cdot AH = BA\cdot PA$
Từ trên, suy ra $BE\cdot BC + AE\cdot AH = BA^2$.
(d)Ta có: $\angle ICE=\angle IEC=\angle BEP=\angle BAC=\angle BAC=\angle OCA=90^{\circ} - \angle OCE$
nên $IC \perp CO$.

$8) \large \left\{\begin{matrix}x^{3}- \sqrt{y}=1\\ 5x^{6}+2y-8x^{3} \sqrt{y} =2 \end{matrix}\right.$

Giải: Đặt $x^3=a$ và $\sqrt{y}=b\geq 0$, hệ phương trình tương đương:
$\large \left\{\begin{matrix}a - b=1\\ 5a^2+2b^2-8ab=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \large \left\{\begin{matrix}a=b + 1\\ 5(b+1)^2+2b^2-8(b+1)b=2 \end{matrix}\right.$
Sau khi rút gọn, ta có:
$b^2-2b-3=0 \Leftrightarrow b=3(b\geq 0) \Rightarrow a=4 \Rightarrow (x;y)=(\sqrt[3]{4};9)$