mylinhvo9997

$\sum \frac{2a}{b+c}\geq 3+\frac{\sum (a-b)^{2}}{\sum (a+b+c)^{2}}$

Cho x,y,z thoã mãn x + y + z = 5 và $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 9$. Tìm max,min của :
S = $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

$\sum \frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\sum \frac{y+2}{27}+\sum \frac{y^{2}-2y+4}{27}\geq \sum \frac{1}{3}x$
chuyển vế + biến đổi ---> dpcm

bài 2: x^{2} +2 = (x^{2}+1)+1\geq 2x +1
--> VT \geq $\frac{2x+1}{y}+\frac{2y+1}+{z}\frac{2z+1}{x}= 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 2.3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}+\frac{9}{x+y+z}\geq 6+\frac{9}{\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}=9$

Cho $\vec{a}, \vec{b},\vec{c}$ bấtt ki. CMR
$\left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |+\left | \vec{c} \right |+\left | \vec{a} +\vec{b}+\vec{c}\right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |+\left | \vec{b}+\vec{c} \right |+\left | \vec{c}+\vec{a} \right |$
____________________________
DXT:Chú ý tiêu đề và gõ Tiếng Việt có dấu bạn nhé!Thân

1, Cho a,b,c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4\sqrt{abc} $
Chứng minh
$a+b+c > 2\sqrt{abc}$

Theo BĐT AM-Gm ta có
$a+b+c+a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 6\sqrt[6]{(abc)^{3}}= 6\sqrt{abc}$
Dấu bằng xảy ra khi:
$a=b=c=a^{2}=b^{2}=c^{2} \\a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4\sqrt{abc}\\a,b,c>0$
--> Dấu = ko xảy ra -->$ a + b+c + a^{2}+b^{2}+c^{2} > 6\sqrt{abc}$ --> đpcm

Chứng minh nếu
$$\sqrt{a^{2}+\sqrt[3]{a^{4}*b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\sqrt[3]{a^{2}*b^{4}}}=c$$
thì
$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$
Ai giúp em với

Đặt $\sqrt[3]{a}=m , \sqrt[3]{b}=n \Rightarrow c=\sqrt{m^{3}+m^{2}n}+\sqrt[3]{n^{3}+mn^{2}}=\sqrt{m^{2}(m+n)}+\sqrt{n^{2}(m+n)}=(m+n)\sqrt{m+n}\Rightarrow c^{2}=(m+n)^{3}\Rightarrow \sqrt[3]{c^{2}}=m+n=\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{b^{2}}$

Cho $\triangle ABC$ đều nội tiếp $(O:R)$. Điểm $M$ di động trên cung nhỏ $BC$, dây cung $AM$ cắt dây cung $BC$ tại $D$.
1. CMR: $AM = BM + CM$
2. Tìm vị trí điểm $M$ sao cho độ dài $DM$ lớn nhất. Tính độ dài này theo $R$.

vì đã có mem làm câu 1 nên mình mạn phép chém lun câu 2
bạn tự vẽ hình nhá!
Ta có $\Delta MBD\sim \Delta MAC \Rightarrow \frac{MC}{MD}=\frac{MA}{MB}=\frac{MB+MC}{MB}=1+\frac{MC}{MB}\Rightarrow \frac{1}{MD}=\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}\geq \frac{4}{MB+MC}=\frac{4}{MA}\Rightarrow MD\leq \frac{MA}{4}\leq \frac{2R}{4}=\frac{R}{2}$

Cho $\Delta ABC$ nhọn. đường cao AD, BE, CF. trực tâm H. gọi N=FD$\cap AC$. M=ED$\cap AB$. O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.CMR : OH vuông góc MN

GHPT:$\left\{\begin{matrix} 2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y} & \\ \sqrt{x+\sqrt{x+2y}}=x+3y-2 & \end{matrix}\right.$

Mod: Chu y LATEX

Áp dụng cách tính tổng của thầy Thanh cộng thêm vài thứ ta được:
$S=\frac{n^2}{4n^2+1}$
_________
Giờ là chứng minh:
Đặt $S_n=\frac{n^2}{4n^2+1}$
Suy ra $S_n-S_{n-1}=\frac{n^2}{4n^2+1}-\frac{(n-1)^2}{4(n-1)^2+1}=\frac{2n-1}{4+(2n-1)^4}$
Vậy:
$S=S_1-S_0+S_2-S_1+...+S_{n}-S_{n-1}$
$=S_n$
$=\frac{n^2}{4n^2+1}$

tại sao bạn lại biết đk kết quả của S.
bạn có thể nói kĩ cho mình chỗ đó đk ko?