Đến nội dung

Mrnhan

Mrnhan

Đăng ký: 24-07-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

Trong chủ đề: Tính đạo hàm Fréchet của: $f(x)=||Ax-b||^2$

06-06-2017 - 13:38

Em có biết một công thức liên quan đến tính đạo hàm của tích ma trận (product rules) 

$$\nabla \left( U^TV\right)=\nabla(U)V+\nabla(V)U$$

 

Bài toán ban đầu tương đương với 

$$f(x)=\left\|Ax-b\right\|^2=(Ax-b)^T(Ax-b)\Rightarrow f'(x)=2A^T(Ax-b)$$

 

Vì nếu $C= (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ và $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$

 

$$\Rightarrow g(x)=C^Tx=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n$$

$$\Rightarrow \nabla (g(x))=\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}=C$$

Vậy $$\nabla(Ax-b)=A^T$$


Trong chủ đề: Tích tích phân suy rộng (dùng hàm gamma & beta)

21-05-2017 - 08:36

tính tích phân suy rộng

Giải

 

ĐK: ...... :)

 

$$I(a)=\int_0^1\frac{x^2(1-x^a)}{\ln x}dx$$

 

$$\Rightarrow I(0)=0, I'(a)=-\int_0^1x^{2+a}dx=-\frac{1}{3+a}$$

 

$$I(a)=-\ln(3+a)+K$$

 

$$I(0)=0\Rightarrow K=\ln3$$

 

$$\Rightarrow I(a)=\ln\frac{3}{3+a}$$


Trong chủ đề: $(Au, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\l...

09-01-2017 - 17:13

Ma trận mà có thể định nghĩa  $Au$ sao?

 

Có lẽ từ đúng là "toán tử". Nhiều thông tin hơn cho $A$ là gì? $A$ xác định  trên đâu? 

$A$ là ma trận vuông thực nha bạn (theo mình nghĩ thì $A$ là ma trận vuông gì cũng được, cứ thỏa mãn là có các trị riêng vuông là được). $u$ là vector (lúc đầu mình định viết là $\nabla u$ cho dễ hiểu, nhưng viết như trên cũng ko sao)

Còn $(.,.)_{L_2(\Omega)}$ (một số tài liệu ký hiệu là $<.,.>_{L_2(\Omega)}$) là tích vô hướng trên không gian $L_2(\Omega)$


Trong chủ đề: Topic về Bất đẳng thức trong Tích phân

22-08-2016 - 10:20

Vế phải trong bất đẳng thức của bạn không biết có nhầm lẫn gì không ?

 

Hình như bạn ấy sai điều kiện thôi, điều kiện phải là $f(0)=0$

 

Nếu thế thì lời giả sẽ là:

 

$$f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)dt\leq \left ( \int_{0}^{x}1^2 \right )^{1/2} \left( \int_{0}^{x}\left ( f'(t) \right )^2 \right )^{1/2}$$

 

$$\Rightarrow f^2(x) \leq x \int_{0}^{x}\left ( f'(t) \right )^2dt\leq x \int_{0}^{1}\left ( f'(t) \right )^2dt$$

 

$$\Rightarrow \int_{0}^{1} f^2(x)dx\leq \int_{0}^{1}xdx\int_{0}^{1}\left ( f'(t) \right )^2dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left ( f'(x) \right )^2dx$$


Trong chủ đề: Tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x...

08-02-2016 - 15:00

Biết rằng $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\pi^2}{12}$, tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx$

 

Bài giải:

 

Ta có

 

$$t=x^3\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{3t}dt\Rightarrow 3I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx$$ 

 

$$3I+\frac{\pi^2}{12}=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx+\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{2x^2}d(x^2)=\frac{3I}{2}$$

 

$$\Rightarrow I=-\frac{\pi^2}{18}$$

 

Cách tìm tích phân đầu