Mrnhan

Em có biết một công thức liên quan đến tính đạo hàm của tích ma trận (product rules) 

$$\nabla \left( U^TV\right)=\nabla(U)V+\nabla(V)U$$

Bài toán ban đầu tương đương với 

$$f(x)=\left\|Ax-b\right\|^2=(Ax-b)^T(Ax-b)\Rightarrow f'(x)=2A^T(Ax-b)$$

Vì nếu $C= (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ và $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$

$$\Rightarrow g(x)=C^Tx=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n$$

$$\Rightarrow \nabla (g(x))=\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}=C$$

Vậy $$\nabla(Ax-b)=A^T$$

Cho $A$ là ma trận vuông thực có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.

Chứng minh rằng: $$(A u, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left| u\right|^2, \; \forall u$$

trong đó

$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\int_{\Omega}uvdx$$

Biết rằng $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\pi^2}{12}$, tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx$

Bài giải:

Ta có

$$t=x^3\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{3t}dt\Rightarrow 3I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx$$ 

$$3I+\frac{\pi^2}{12}=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx+\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{2x^2}d(x^2)=\frac{3I}{2}$$

$$\Rightarrow I=-\frac{\pi^2}{18}$$

Cách tìm tích phân đầu

Bài toán:

Chọn 8 học sinh trong tổng số 20 học sinh để nhận học bổng từ 2 nhà tài trợ. Biết rằng những học sinh cùng 1 nhà tài trợ sẽ làm nhóm cùng nhau và mỗi học sinh có thể nhận 2 học bổng (làm việc trong 2 nhóm). Hỏi có thể có bao nhiêu nhóm khác nhau.

 

Câu 1: Tìm cực trị 

$w=x^2+4y^2-3xy+11x-34y+a$

Câu 2: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange hãy tìm cực trị

$w=axy$

với $x+ay=10$

 

Spoiler

cái này lâu không học nên quên hết... hôm nay có người hỏi lại

 

Lý thuyệt (học cũng được 2 năm rồi chả nhớ lắm )

Ta có $$\left\{\begin{matrix} A=w''_{x^2}\\B=w''_{xy}\\C=w''_{y^2}\end{matrix}\right. \Rightarrow D=B^2-AC$$

Và điểm dừng $M(x_0, y_0)$

$D>0$ thì không có cực trị tại $M.$

$D<0$ thì có cực trị, xét dấu của $A$

$D=0$ thì chưa có kết luận(có thể có thể ko) (chả nhớ xét kiểu gì )

Bài 1.

Tìm điểm dừng

$$\left\{\begin{matrix} w'_x=2x-3y+11=0\\w'_y=8y-3x-34=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\y=5\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=w''_{x^2}=2\\B=w''_{xy}=-3\\C=w''_{y^2}=8\end{matrix}\right. \Rightarrow D=B^2-AC=-7, \, A=2>0$$

Nên hàm đã cho đạt cực tiểu tại $(2, 5)$ và không có cực đại.

Bài 2.

Lý thuyết: Tìm cực trị của hàm $f=f(x, y)$ thỏa mãn $g(x, y)=0$. Xét hàm Lagrange

$$F=F(x, y, \lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

Tìm điểm dừng:

$$\left\{\begin{matrix}F'_x=ay+\lambda=0\\F'_y=ax+a\lambda=0\\F'_\lambda=x+ay-10=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a\neq 0\\x=5\\y=-\frac{5}{a}\\\lambda=-5 \end{matrix} \right.$$

$$\Rightarrow \Delta=-\begin{vmatrix} 0&&g'_x&&g'_y\\g'_x&&F''_{x^2}&&F''_{xy}\\g'_y&&F''_{xy}&&F''_{y^2}\end{vmatrix}=a^4$$

Hàm đã cho có cực tiểu tại $\left ( 5,\,\frac{5}{a} \right )$.

Có tham khảo tại đây.

Có thành viên nào của VMF tham gia cái này không? 

Đến gặp mặt  (chụp ảnh cũng vui)

 maths.jpg   102.09K   198 Số lần tải

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$

 

Từ đề bài, ta có $$y(0) = 0, y'(0)=1$$

Đặt $$y = \frac{b_1}{1!}x+\frac{b_2}{2!}x^2+...+\frac{b_n}{n!}x^n+...$$

$$\Rightarrow b_n = y^{(n)}(0)$$

Ta cần tìm các  hệ số của pt (dựa vào giả thiết):

$$(1-x^2)y^{(n+2)}=k_{n}xy^{(n+1)}+t_{n}y^{(n)}$$

$$b_{n+2}=t_nb_n$$

Theo giả thiết, ta có

$$\left (1 - x^2 \right )y' = xy + 1 \Rightarrow (1-x^2)y''=3xy'+y$$

$$\Rightarrow (1-x^2)y'''= 5xy''+4y'$$

$$\Rightarrow (1-x^2)y^{(4)}= 7xy^{(3)}+9y''$$

$$....$$

Đoán: $k_n = 2n+3, \,\, t_{n}=k_{n-1}+t_{n-1}=t_{n-1}+2n+1, t_0=1$ (quy nạp lại để chứng minh )

Mình xin nhờ các anh, chị, các bạn hướng dẫn hộ mình bài này.

Chứng minh dãy số ${\left\{ {{a_n}} \right\}_n}$ thỏa mãn $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| < {\left( {\frac{{2014}}{{2015}}} \right)^n},\forall n \in {N^*}$ là dãy Cauchy.

Mình xin cám ơn và chúc mọi người một đêm thật ngon giấc.

$\forall \epsilon >0 ,\,\forall q, p \in \mathbb{N},\, p>q> \left \lceil \frac{2015}{2014}\ln\frac{\epsilon }{2015} \right \rceil$, ta có

$$\left | a_p-a_q \right |\leq \left | a_p-a_{p-1} \right |+...+\left | a_{q+1}-a_q \right |<\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-1}+...+\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q $$

$$= \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q\left [ \left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q-1}+...+1 \right ]=\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q \times \frac{1-\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q}}{1-\frac{2014}{2015}}<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q$$

$$\Rightarrow \left | a_p-a_q \right |<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q < \epsilon,\,\, \boxed{\text{đpcm}}$$

Tính tích phân

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

Ta có

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx$$

$$=\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}+\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}$$

$$=\pi i \left ( \frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )+\pi i\left ( -\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )=\frac{\pi}{2}$$

Khi nào mới tổ chức ở Hà Nội thế BQT

 

Giải bất phương trình:

$ \sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x} $

 

$$\sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x}\Leftrightarrow x\left ( \sqrt[3]{25\left ( 2+\frac{9}{x^2} \right )}-4-\frac{3}{x^2} \right )\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{-x(\frac{3}{x^2}-1)^2(\frac{3}{x^2}+14)}{\left ( \sqrt[3]{25\left ( 2+\frac{9}{x^2} \right )} \right )^2-\left ( 4+\frac{3}{x^2} \right )\sqrt[3]{25\left ( 2+\frac{9}{x^2} \right )} +\left ( 4+\frac{3}{x^2} \right )^2 }\geq 0$$

$$\Leftrightarrow x < 0$$

Lớn mặt rồi làm mấy này thế Trang tròn Ở YHN cũng học toán này à??

Ai có tài liệu Học Máy (Machine learning) hoặc Trí Tuệ Nhân Tạo (AI) bằng Tiếng Việt không, dốt tiếng anh nên đọc không hiểu  

Tính

                                            $\int_{0}^{+\infty }\frac{lnxdx}{1-x^{2}}$