Đến nội dung

bibitsubomi 9fxshiftsolve

bibitsubomi 9fxshiftsolve

Đăng ký: 27-07-2012
Offline Đăng nhập: 29-12-2012 - 11:45
*****

#361943 \[\sum {\frac{{{a^2} + {b^2}c}}{{b + c}} \ge \frac{2...

Gửi bởi bibitsubomi 9fxshiftsolve trong 14-10-2012 - 22:53

bài trên mình sai =.=

BĐT cần cm tđ vs

$\frac{a^3+a^2b+a^2c+b^2c}{b+c}+\frac{b^3+b^2a+b^2c+c^2a}{c+a}+\frac{c^3+c^2a+c^2b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$

$ \Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b+c}+\sum a^2+\sum _{cyc}\frac{a^2b}{a+b} \geq \frac{2}{3}$

ta có

$\sum a^2+\sum _{cyc}\frac{a^2b}{a+b} \geq \sum a^2+\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2+\sum ab}=\frac{3}{4}\sum a^2-\frac{1}{4}\sum ab+\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2+\sum ab}+\frac{\sum a^2+\sum ab}{4}\geq \frac{3}{4}\sum a^2+\frac{1}{4}\sum ab$

đến đây chắc dễ r nhỉ


#361920 $$\frac{a^2b}{a+b+1}+\frac{b^2c...

Gửi bởi bibitsubomi 9fxshiftsolve trong 14-10-2012 - 22:10

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn tổng của chúng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2b}{a+b+1}+\frac{b^2c}{b+c+1}+\frac{c^2a}{c+a+1}\leq 1$$



trc hết ta có $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$ (*)

nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c+1 và để ý (*) thì ta chỉ cần cm

$\sum _{cyc}\frac{a}{a+b+1}\leq 1$

sau khi quy đồng thì ta lại đc (*)


#361916 \[\sum {\frac{{{a^2} + {b^2}c}}{{b + c}} \ge \frac{2...

Gửi bởi bibitsubomi 9fxshiftsolve trong 14-10-2012 - 21:59

Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$$\frac{a^{2}+b^{2}c}{b+c}+\frac{b^{2}+c^{2}a}{c+a}+\frac{c^{2}+a^{2}b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$$


nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c ta đc

$\sum a^2+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left [ (\sum a)(\sum a^2)+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc \right ]\geq 2(\sum a)^3$

$\Leftrightarrow 4\sum a^3\geq \sum _{cyc}ab^2+3abc$

(đúng)

bđt đc cm


#349398 [MO2013] Trận 1 - Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Gửi bởi bibitsubomi 9fxshiftsolve trong 24-08-2012 - 20:32

$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37}(1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$
đkxđ: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[5]{7}-\sqrt[10]{y}\geq 0 & & \\ 1-x^2\geq 0 & & \\ y\geq 0 & & \\ x(1-x)\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 \leq x\leq 1 & \\ 0\leq y\leq 7^2.2^{10} & \end{matrix}\right.$

trước hết ta chứng minh

với $0 \leq x\leq 1$ thì $x(9\sqrt{x^2+1}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$

thật vậy!

áp dụng bđt AM-GM ta có

$9x\sqrt{x^2+1}=6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=\frac{39}{4}x^2+3$

$13x\sqrt{1-x^2}=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}=13-\frac{39}{4}x^2$

do đó $x(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})\leq 13-\frac{39}{4}x^2+\frac{39}{4}x^2+3=16$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{9}{4}x^2=x^2+1 & \\ \frac{1}{4}x^2=1-x^2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

suy ra $4\sqrt{y}=912-x(9\sqrt{x^2+1}+13\sqrt{1-x^2})\leq 912-16=896$

$\Rightarrow y\geq 50176=7^2.2^{10}$

kết hợp với đkxđ suy ra $y= 50176$

khi đó, $x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

thay y=50176 vào (1) ta đc $(17-\sqrt{37})z^2=32(17-\sqrt{37})$

$\Rightarrow z^2=32\Rightarrow z=\pm 4\sqrt{2}$

thử lại thấy $(x,y,z)=(\frac{2\sqrt{5}}{5}; 50176;4\sqrt{2})$ là ngiệm của hệ đã cho
________________________

Chú ý viết hoa đầu dòng!
Bài giải: 10
$S=48-(21-20)+3\times 10+0+0=77$


#341451 $$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right )...

Gửi bởi bibitsubomi 9fxshiftsolve trong 29-07-2012 - 13:40

$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$ (*)


$a=b$ (*) luôn đúng

$a\neq b$

gs $a>b$

CM (*) <=> CM $(n+1)(a^{n+1}+b^{n+1}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{n+1}-b^{n+1}) (1)$

$n\in \left \{ 0;1 \right \} \rightarrow (1)$ đúng

gs (1) đúng đến $n=k-1$ hay $(k)(a^{k}+b^{k}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{k}-b^{k}) $

ta sẽ c/m $(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{k+1}-b^{k-1}) $

sd AM-GM dễ dàng c/m đc

$\frac{(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1})(a^k-b^k)}{k(a^k+b^k)(a^{k+1}-b^{k+1})}\geq 1$

$\Rightarrow \frac{(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1})}{\frac{a+b}{a-b}(a^{k+1}-b^{k+1})}\geq \frac{k(a^k+b^k)}{\frac{a+b}{a-b}(a^k-b^k)}\geq 1$

(1) đc c/m $\rightarrow $ (*) đc c/m