hoangtrunghieu22101997

Cho $x;y;z$ không âm sao cho có nhiều nhất 1 số bằng 0. Chứng minh

$$\sum \dfrac{1}{x^3+y^3} \ge \dfrac{20}{(x+y+z)^3}$$

Korea Final Round 2013

 

 

$\fbox{1}$ Cho $\Delta ABC(\hat{B}>\hat{C})$. $D \in AC$ thoả mãn $\widehat{ABD}=\widehat{C}$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDI$ giao với $AI$ tại $E(\ne I)$.Đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD$. Điểm $A'$ là điểm thoả mãn $AI=IA'$. Điểm $Q$ là giao điểm $JP$ và $A'C$. Chứng minh rằng :$QJ=QA'$.

$\fbox{2}$ Tìm $ f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ thoả mãn các điều kịên sau:

a.$ f(x)\ge 0\ \ \forall \ \ \ x\in\mathbb{R} $

b. Với $a;b;c;d \in \mathbb{R}$thoả mãn $ ab+bc+cd = 0 $ và

$$f(a-b)+f(c-d) = f(a)+f(b+c)+f(d) $$

$\fbox{3}$ Cho số nguyên $n \le 3$.Xét tập hợp $ T =\{ (i,j) | 1\le i < j\le n , i | j\} $. Đối với cac số thực không âm $ x_1 , x_2 ,\cdots , x_n $ thoả mãn $ x_1+x_2+\cdots+x_n = 1 $. Tìm giá trị lớn nhất của:

\[ \sum_{(i,j)\in T}x_i x_j \]

$\fbox{4}$ Cho $\Delta ABC$. $B_1;C_1$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp $\hat{B}$ và $\hat{C}$. $B_1C_1$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ tại $D(\ne A)$. $E$ là điểm thoả mãn : $B_1E \perp CA; C_1E\perp BA$. $ w $ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$. Tiếp tuyến của $ w $ tại $D$ cắt $AE$ tại $F$. G;H là các điểm thuộc $AE; w$ sao cho $DGH \perp AE$. Đường tròn ngọai tiếp $\Delta HGF$ cắt $ w $ tại $I(\ne H)$. J là chân đường vuông góc hạ từ $D $ xuống $AH$. Chứng minh $AI$ đi qua trung điểm $DJ$

$\fbox{5}$Cho a;b là 2 số nguyên dương ; $(a;b)=1$.Hai dãy $\{a_n\};\{b_n\}$ thoả mãn:

\[ (a+b\sqrt2 )^{2n}= a_n+b_n\sqrt2 \].

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n \le p$ thoả mãn $p | b_n$.

$\fbox{6}$

Đối với một hoán vị bất kì $ f :\{ 1, 2,\cdots , n\}\to\{1, 2,\cdots , n\} $ và xác định

\[ A =\{ i | i > f(i)\} \]

\[ B =\{ (i, j) | i<j\le f(j) < f(i)\ or\ f(j) < f(i) < i < j\} \]

\[ C =\{ (i, j) | i<j\le f(i) < f(j)\ or\ f(i) < f(j) < i < j\} \]

\[ D =\{ (i, j) | i< j\ and\ f(i) > f(j)\} \]

Chứng minh rằng: $ |A|+2|B|+|C| = |D| $.

Lên mạng search tự nhiên thấy
(Nguồn : MS)

 

http://online.print2...b5a1b4c/doc.php

Nhân ngày hạnh phúc của thế giới, BBT của k2pi.net gởi đến các bạn tập tài liệu chọn lọc lần 1, sau một thời gian khá dài biên soạn. Mong các đọc giả sẽ góp ý các thiếu sót của tập tài liệu vào diễn đàn hay email [email protected].
Chúc các bạn một này tràn đầy hạnh phúc.

Read more: http://www.k2pi.net/...14&d=1363775438

Đề thi học sinh môn Toán lớp 9 tỉnh Vĩnh Long

Thời gian làm bài : 150 phút

17/03/2013

 

Bài 1: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của
chúng chia hết cho 9.
b) Viết các số  tự nhiên  lẻ  liên  tiếp  từ 1 đến 2013  ta được số A = 1357911…20112013.
Hỏi số A có bao nhiêu chữ số?

 

Bài 2: (5 điểm)

a)Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-9x+1}=|x-2|$

b) Giải bất phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1} \ge \dfrac{x+1}{x-1}$

c) Giải hệ phương trình

$\begin{cases}
 &  \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2\\
 &   \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11
\end{cases}$

 

Bài 3: (3 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2– 2x + m + 2 = 0.$ Tìm m để phương trình:
a) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2+x_2^2=88$
b) có đúng một nghiệm dương.

Bài 4: (3 điểm) Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc
mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô chạy thêm
30 phút nữa  thì đến B, còn xe mô  tô chạy  thêm 2 giờ nữa  thì đến A. Tìm vận  tốc của mỗi xe
(Giả sử rằng hai xe chuyển động đều)

Bài 5: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O. Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I
là trung điểm của OA. Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA (M trên cung AC, Q trên cung
AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P.
a) Chứng minh rằng tứ giác PMIO là hình thang vuông và ba điểm P, O, Q thẳng hàng.
b) Gọi S là giao điểm của AP và CQ. Tính số đo góc $\widehat{CSP}$
c) Gọi H là giao điểm của AP và MQ. Chứng minh rằng $MH.MQ = MP^2$

Bài 6: (2 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện $a + b  \le 1.$
Chứng minh rằng:
$ab+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{17}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra khi nào?
------Hết------

 

Xin cám ơn thầy Mai Văn Vinh THCS Nguyễn Thị Thu đã cung cấp đề thi

Bài này chắc quen thuộc với mọi người .
Bài toán :Tìm tất cả các cặp sắp thứ tự $(m,n)$ thỏa mãn $\frac{m^{2}+n^{2}}{mn-1}$ là 1 số nguyên dương.

Giả sử tồn tại $(m_0;n_0)$ thoả mãn : $k=\frac{m_0^{2}+n_0^{2}}{m_0n_0-1} \in Z$
Trong đó $m_0 \ge n_0$ và $m_0+n_0_{\Large{min}}$
Đặt $k=\dfrac{m^2+n^2}{mn-1} \Rightarrow k \in N^{*}$
$\Rightarrow m^2+n^2-kmn+k=0$
Xét $f(m)=m^2-kmn+n^2+k$
Thấy $f(m)$ có nghiệm $m_0$
Và còn có nghiệm còn lại: $m_1=\dfrac{n^2+k}{m_0}=kn-m_0 \in N$
Theo giả sử thì $m_1+n_0 \ge m_0+n_0$
$\Rightarrow m_1 \ge m_0 \ge n_0$
$\Rightarrow f(n_0) \ge 0$ (trong khác ngoài cùng)
$\Rightarrow 2n_0^2+k(1-n_0^2) \ge 0$
Với $n_0=1 \Rightarrow m \in {2;3}$
Với $n_0 \ge 1 \Rightarrow k \le \dfrac{2n_0^2}{n_0^2-1} \le 3$
Xét TH

Kết quả: $(x;y) \in \fbox{(1;2);(2;1);(1;3);(3;1)}$

thời gian: 180 min

Bài 1. (5đ)

1, Cho hàm số $y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4$ (m là tham số) có đồ thị là $(C_m)$, đường thẳng d có phương trình là $y=x+4$ và điểm $K(1;3)$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để d cắt $(C_m)$ tại ba điểm phân biệt $A(0;4), B, C$ sao cho $dt(\Delta KBC) = 8\sqrt{2}$

2, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

$F(x)=(32x^5-40x^3+10x-1)^{2008}+(16x^3-12x+\sqrt{5}-1)^{2010}$

Bài 2. (8đ)

1, Giải bpt: $5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}} < 2(x+\dfrac{1}{4x}+2)$

2. Giải hpt :

$x+\sqrt{x^2+1}=e^y$
$y+\sqrt{y^2+1}=e^x$

3. Cho a,b,c > 0 thoả mãn abc=1. CMR:

$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+ \dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \leq \dfrac{1}{2}$

Bài 3. (5đ)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. M,I lần lượt là trung điểm BC và SA, J là điểm chia đoạn SB theo tỉ số bằng -2.
Biết $BC=2a$, $SA=SC=SM=a\sqrt{5}$, $\widehat{ABC}=60^o$

1, Mặt phẳng (P) chứa IJ và song song với SC chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

2, Tính $d(S;AB)$

Bài 4. (2đ)

Cho $(X_n)$ có $X_1=\dfrac{1}{2}$

$X_{n+1}=X_n+\dfrac{X_n^2}{n^2} \forall n \in N^*$

CMR Dãy $X_n$ có giới hạn hữu hạn.

Nguồn : Noinhobinhyen

Chứng minh nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức :$3m^{2}+m=4n^{2}+n$ thì m-n;4m+4n+1 đều là các số chính phương

Gợi ý
$3m^2+m=4n^2+n \Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2$
Và $gcd(m-n;4m+4n+1)=1$

Đề thi phân ban lần III lớp 11 THPT chuyên Thái Bình
(Ban A)
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: Cho hàm số $y = \frac{{2x + m}}{{mx + 1}}$ ( m là tham số)
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
Bài 2: Giải phương trình:
$\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}}}} = 2\left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)$
Bài 3: Cho hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 2xy - 2\left( {x + y} \right) = 15\\
{x^3} + {y^3} = m
\end{array} \right.\left( {x,y \in IR} \right)$
a, Giải hệ với $m = \frac{{ 25}}{4}$
b, Tìm m để hệ có nghiệm thực
Bài 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$. Biết $BC=a; AD=3a$, tam giác $SAB$ đều cạnh $2a(a>0)$vàmặt phẳng$(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.Gọi H là trung điểm cạnh AB
a, Chứng minh $SH \bot \left( {ABCD} \right)$. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $(SHC)$
b, Tính góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$
c, Tính khoảng cách giữa $SA$ và $DC$
Bài 5: Cho $a,b,c$ là các số thực dương
Chứng minh rằng: $\frac{1}{{a\sqrt {b + a} }} + \frac{1}{{b\sqrt {b + c} }} + \frac{1}{{c\sqrt {c + a} }} \ge \frac{3}{{\sqrt {2abc} }}$

Cho $a;b;c>0$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \dfrac{ab}{b^3+c^3} > \dfrac{3}{4}$

CmR: Với $n \in N^{*}$
$$\Large{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\varphi(n)}{2^n-1}<2}$$

@supermember: Bài này phải có hiểu biết về hàm sinh mới làm được

Giải phương trình:
$$\left[\dfrac{2^{ord_{F_n}2}}{F_n}\right]=F_n-2$$
Với $F_n=2^{2^n}+1$

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$.
Cố định $k$, xét các bộ $(x;y)$ thỏa mãn $k \in \mathbb{N}$. Chọn bộ $(x;y)$ có tổng nhỏ nhất. Ta sẽ chứng minh khị đó $x=y$.
Giả sử $x>y$.
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} \Leftrightarrow {x^2} - kxy + {y^2} + 6 = 0\]
Xét pt bậc 2 ẩn $t$ sau:
\[{t^2} - kyt + {y^2} + 6 = 0\]
Pt này có 2 nghiệm $t$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = x \\
{t_2} = ky - x = \frac{{{y^2} + 6}}{x} \\
\end{array} \right.\]
Do đó, $t_2 \in \mathbb{N}^*$. Suy ra $(t_2;y)$ cũng là 1 bộ số nguyên dương để $k$ nguyên dương.
Do cách chọn $(x;y)$ ban đầu nên
\[{t_2} + y \ge x + y \Leftrightarrow {t_2} \ge x \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + 6}}{x} \ge x \Leftrightarrow {y^2} + 6 \ge {x^2} \Leftrightarrow 6 \ge {x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 3\]
(do $x-y \geq 1; x+y \geq 2y+1 \geq 3$)
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 3 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 4 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 5 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{3}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 \\
y = 2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{2} \\
y = \frac{5}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\end{array} \right.\]
Do đó, điều giả sử là sai. Suy ra $x=y$. Nên
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} = \frac{{2{x^2} + 6}}{{{x^2}}} = 2 + \frac{6}{{{x^2}}} \in N \Rightarrow {x^2}|6 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow k = 8:True\]

Bài 2. ( 2.0 điểm)

1.Chứng minh rằng phương trình $8x^{3}-6x-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Tìm 3 nghiệm đó.

Chém câu dễ nhất
$8x^3-6x-1=0$
$\Leftrightarrow 4x^3-3x=\dfrac{1}{2}$
Nếu $x \in [-1;1]$
Đặt $x=\cos \alpha$
$\Rightarrow \cos 3\alpha =\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \alpha \in \{\dfrac{2\pi}{9};\dfrac{4\pi}{9};\dfrac{8\pi}{9}\}$
Đây cũng tất cả các nghiệm của phương trình
(Do pt bậc 3 có tối đa 3 no)