Đến nội dung

luuxuan9x

luuxuan9x

Đăng ký: 03-08-2012
Offline Đăng nhập: 16-05-2013 - 21:43
*****

Trong chủ đề: $\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$

16-05-2013 - 16:44

Bài toán 4 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả :

 

$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$,  trong đó $q\in \mathbb{Q}, x\in \mathbb{R}$

 

Đặt $P(x,q)$ là 1 phép thế nào đó của hàm đã cho.

 

$P(x,\frac{x+q}{2})\implies |f(x)-f(\frac{x+q}{2})|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.

 

$P(\frac{x+q}{2},q)\implies |f(\frac{x+q}{2})-f(q)|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.

 

Vì thế $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2}$. Tương tự $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2^n}$.

 

Cho $n\to 0$, $|f(x)-f(q)|\le 0$.

 

Vì thế $f(x)=f(q)$ => $f(x)=c$. Thử lại thỏa.

 

 

Vậy $f(x)=c$


Trong chủ đề: [MHS2013] Trận cuối - PT, BPT, HPT, HBPT mũ, logarit

13-04-2013 - 19:39

Đây là 1 bài thuộc 1 lớp bài có dạng :

 

Giải phương trình :$a^{x-1}=blog_{a}(bx+c)+b+c$ trong đó $a,b>0$

 

ĐK $x> \frac{-c}{b}$

 

Đặt $y-1=log_{a}(bx+c)$

 

=>$a^{y-1}=bx+c$

 

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a^{x-1}=by+c(1)\\ a^{y-1}=bx+c(2) \end{matrix}\right.$

 

Lấy (1) trừ (2) ta có :$a^{x-1}+bx=a^{y-1}+by$ (*)

 

Xét hàm số : $f(t)=a^{t-1}+bt, \forall t\in \mathbb{R}$

 

=>$f'(t)=a^{t-1}lna+b>0, \forall t\in \mathbb{R}$

 

=> $f$ đống biến trrên $\mathbb{R}$

 

Khi đó (*) thành $f(x)=f(y)$

 

<=>$x=y$

 

Thay vào (1) ta có $a^{x-1}-bx-c=0$ (**)

 

Xét hàm số :$g(x)=a^{x-1}-bx-c, \forall x\in \mathbb{R}$

 

=>$g'(x)=a^{x-1}lna-b$

 

=>$g''(x)=a^{x-1}(lna)^2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$

 

Khi đó (**) có tối đa 2 nghiệm.

 

Đến đây mình sử dụng máy tính đển tìm nghiệm :D .

 

----------------

 

Ngoài ra ta có thể tổng quát được PT trên với một số $k$ khác $-1$ và cách giải cũng tương tự.

 


Trong chủ đề: [MHS2013] Trận cuối - PT, BPT, HPT, HBPT mũ, logarit

13-04-2013 - 19:22

Mấy hôm trước bận quá, không tham gia được, trận cuối rồi nên làm để chia tay ( chắc làm đúng cũng không thể vào top 3 :D )

 

 

 

 

Giải phương trình $7^{x-1}=6\log_{7}(6x-5)+1$

Đề của 

hoangtrong2305

 

 

Điều kiện: $x>\frac{5}{6}$

 

Đặt $y-1=log_{7}(6x-5)$

 

=>$7^{y-1}=6x-5$

 

Khi đó ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} 7^{x-1}=6y-5\\ 7^{y-1}=6x-5 \end{matrix}\right.$

 

Lấy (1) trừ (2) ta có:$7^{x-1}+6x=7^{y-1}+6y$ (*)

 

Xét hàm số:$f(t)=7^{t-1}+6t,\forall t\in \mathbb{R}$

 

=>$f'(t)=7^{t-1}ln7+6>0 ,\forall t\in \mathbb{R}$

 

=> $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

 

Khi đó (*) thành $f(x)=f(y)$

 

<=>$x=y$

 

Thay vào (1) ta có:$7^{x-1}=6x-5$

 

<=>$7^{x-1}-6x+5=0$ (**)

 

 

Xét hàm số $f(x)=7^{x-1}-6x+5$ ,$x\in \mathbb{R}$

 

=>$f'(x)=7^{x-1}ln7-6$

 

=>$f''(x)=7^{x-1}(ln7)^2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$

 

Do đó phương trình (**) sẽ có tối đa 2 nghiệm.

 

Dễ thấy $x=1$ và $x=2$ là nghiệm của (**)

 

Thử lại ta thấy nhận 2 nghiệm $x=1$ và $x=2$

 

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=2$

 

Không chứng minh hệ quả của định lý Rolle.

Điểm bài: 8

S = 14 + 8*3 = 38


Trong chủ đề: $xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$

10-03-2013 - 19:41

Tìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$


Mình có cách giải khác hay hơn ( may be :D).

Đặt $g(x)=f(x)-f(0)$ =>$g(0)=0$.

Khi đó PTH tương đương :

$xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)$

Thay $y$ bởi $-x$ ta có: $xg(x)+xg(-x)=0$ =>$g(-x)=-g(x)$ => $g$ là hàm lẻ.

Thay $y$ bởi $-y$ ta có $xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y)$

=>$(x+y)g(x-y)=(x-y)g(x+y)$

Với $x\neq \pm y$ ta có: $\frac{g(x+y)}{x+y}=\frac{g(x-y)}{x-y}$

=>$g(x)=ax$ $\forall x\in \mathbb{R}$

=>$f(x)=ax+b$ $\forall x\in \mathbb{R}$ (với $b=f(0)$)

Vậy $f(x)=ax+b$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Trong chủ đề: Tính $f^-1(8),(f^-1)'(8)$

10-03-2013 - 19:19

cho $f(x)=3x^7+4x^5+2x-1$
C/m rằng hàm số trên có hàm ngược và hàm ngược là 1 hàm số đơn điệu tăng
Tính $f^-1(8),(f^-1)'(8)$


Điều đầu tiên mình muốn nói là bạn nên học gõ tại đây .

Còn về bài giải mình xin giải như sau.

Vì $f$ có bậc là $7$ nên $f$ là toàn ánh.

Ta có $f'(x)=21x^6+20x^4+2> 0$ và $f$ liên tục=> $f$ đơn ánh.

=> $f$ toàn ánh.=> Tồn tại hàm ngược của $f$.

Vì $f'>0$ nên $f$ tăng=> hàm ngược tăng.

Còn tính 2 cái hàm ngược bạn tự giải nghe, mình không có biết tìm hàm ngược :D.