End

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn ©: $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ cắt Oy tại A và B. Viết phương trình đường tròn (C1) đi qua A, B cắt Ox tại M, N sao cho MN=6

$A(0,-2+\sqrt{3}); B(0,-2-\sqrt{3})$

Vì (C1) Qua A và B => tâm của (C1) thuộc đường thẳng qua trung điểm A,B và song song Ox. Gọi I là trung điểm A, B

=>$I(0,-2)$

Gọi K là tâm của (C1)=> K(a,-2)

Ta có: $KA^{2}= y_{k}^{2}+(\frac{MN}{2})^{2}$

=> K

cho 2 đường d1:2x-y-1=0 và d2:x+2y-7=0. lập pt đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với d1,d2 một tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó.tính diện tích tam giác cân đó

Gợi ý ná.

Tìm giao điểm 2 đt là $K(\frac{9}{5},\frac{13}{5})$

Gọi PT phân giác là $\Delta :y=k(x-\frac{9}{5})+\frac{13}{5}$

Vì $\Delta$ là phân giác $cos(\overrightarrow{n_{d1}},\overrightarrow{n_{\Delta }})= cos(\overrightarrow{n_{d2}},\overrightarrow{n_{\Delta }})$

$\Leftrightarrow \left | 2k-1 \right |=\left | k+2 \right |$

$\Rightarrow k=1$ hoặc $\Rightarrow k=-\frac{1}{3}$

Tìm được k. Sau đó viết phương trình vuông góc vs Phân giác và đi qua O. Tìm được đường thẳng cần tìm.

Tính S thì dễ rồi.

Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

Câu 1:(2 điểm)
Cho hàm số: $y=\frac{-2x-4}{x+1}$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng $2x-y+m=0$. Trong trường hợp có 2 giao điểm M và N, hãy tìm quĩ tích điểm I là trung điểm của M, N.

Câu 2:(2 điểm)
1. Giải PT: $2sin^{3}x -cos2x+cosx=0$
2.Tìm m để hệ PT sau có nghiệm duy nhất: $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{1-y} =m+1& \\
\sqrt{y}+\sqrt{1-x}=m+1&
\end{matrix}\right.$

Câu 3:(1 điểm)
Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{3sinx-2cosx}{(cosx+sinx)^{3}}dx$

Câu 4:(1 điểm)

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy 1 góc $45^{0}$ . Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A' xuống (ABC) là H sao cho : $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}$
Gọi K là trung điểm AA', $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa HK và song song BC cắt BB' và CC' tại M và N. TÍnh tỉ số thể tích: $\frac{V_{ABCKMN}}{V_{A'B'C'KMN}}$

Câu 5:(1 điểm)
Cho 3 số dương x,y,z thay đổi và thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Phần riêng (3 điểm)Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (A hoặc B)

Câu 6a:(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có PT tham số: $\left\{\begin{matrix} x=-2+t & & \\ y=-2t & & \\ z=2+2t& & \end{matrix}\right.$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A(4;0;-1) và song song với đường thẳng d. Trong các mặt phẳng qua $\Delta$. Hãy viết phương trình mặt phẳng có khoảng cách đến đường thẳng d là lớn nhất.

2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn © và đường thẳng $\Delta$ xác định bởi: $©: x^{2}+y^{2}-4x-2y=0, \Delta : x+2y-12=0$. Tìm điểm M trên $\Delta$ sao cho từ M kẻ đc tới © 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc $60^{0}$.
Câu 7a : Giải PT: $\log _{4}(4-x)^{3}+\frac{3}{2}\log _{\frac{1}{4}}(x+2)^{2}= 3+ \log _{\frac{1}{4}}(x+6)^{3}$

Câu 6b:(2 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxyz cho đường tròn $©: (x-1)^{2}+ (y-2)^{2}=4$ và đường thẳng
d: x-y+7=0 . Tìm trên d điểm M mà từ đó kẻ đc 2 tiếp tuyến MA, MB tới ©(Với A,B là 2 tiếp điểm ) sao cho độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất.

2.Cho mặt phẳng: $(P): x-2y+2z-1=0$ và các đường thẳng: $d_{1}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z}{2}; d_{2}: \frac{x-5}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z+5}{-5}$
Tìm các điểm $M\epsilon d_{1}$ và $N\epsilon d_{2}$ sao cho MN//(P) và cách (P) 1 khoảng bằng 2.
Câu 7b:
Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng.

Mình có một số thắc mắc về phương pháp này mong các bạn và thầy cô chỉ cho mình cách tối ưu

VD:
$\frac{1}{t^{2}(t^{2}+1)}$
Quy luật của việc phân tích là gì? Có phải mũ của từng thừa số giảm dần. Nếu vậy thì phân tích thành thế này:
$\frac{A}{t^{2}} + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^{2}+1}$
Hay mình cũng được phép phân tích thành:
$\frac{A}{t^{2}} + \frac{B}{t^{2}+1}$
Và quy luật của việc đặt tử số là sao? Khi nào là Ax+B khi nào chỉ là cơ số A?

Mong các bạn giúp mình.

Với ví dụ bạn đưa ra, t trong và ngoài ngoặc cùng bậc nên ko nên dùng đồng nhất thức mà dùng hệ số bất định. Còn đồng nhất thức nên dùng trong các biểu thức biến lệch bậc

$\frac{1}{t^{2}(t^{2}+1)}=\frac{A}{t^{2}} + \frac{B}{t} + \frac{Cx+D}{t^{2}+1}$

Bên cạnh đó, nếu như mẫu ít nhân tử bạn có thể sử dụng kĩ thuật tách mẫu, chẳng hạn với bài trên:
$\frac{1}{t^{2}(t^{2}+1)}=\frac{t^2+1-t^2}{t^2(t^2+1}=\frac{t^2+1}{t^2(t^2+1)}+\frac{t^2}{t^2(t^2+1)}=\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^2+1}$

Thêm một vài ví dụ nữa nhé:
$1)$ $\frac{1}{(x-5)(x+2)(x+4)}=\frac{1}{9}\frac{(x+4)-(x-5)}{(x-5)(x+2)(x+4)}=$
$\frac{1}{9}\left( \frac{1}{(x-5)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+4)}\right)=...$
$2)$ $\frac{1}{x^3-3x}=\frac{1}{x(x^2-3)}=\frac{1}{3}\frac{x^2-(x^2-3)}{x(x^2-3)}=\frac{1}{3}\left( \frac{x}{x^2-3}-\frac{1}{x}\right)$
Tương tự với
$3)$ $\frac{1}{x^7-10x^3}$ xem sao?

Theo mình ví dụ bạn đưa ra là hệ số bất định. Chứ không phải đồng nhất thức.

PT $\Leftrightarrow 4x^{2}+2 +{\log _{2006}}({4{x^2} + 2})= x^{6}+x^{2}+1+{\log _{2006}({x^6} + {x^2} + 1})$

Xét hàm $F(k)=k+{\log _{2006}}{k}$

$F'(k)=1+ \frac{1}{ln2006}$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến

$\Rightarrow$ $x^{6} +x^{2} +1 = 4x^{2}+2$

Đến đây tự giải và nhớ điều kiện nha.

Dựng JC // AB

$JK^{2}=JC^{2}+CK^{2}-2.JC.CK.cos135$

$\Rightarrow CK= \frac{3a}{\sqrt{2}}$

Xét $\Delta KSJ$ vuông tại K: (Có SK = KC vì SBC vuông cân)

$\Rightarrow SJ = a\sqrt{5}$

$cosJCS =\frac{JC^{2}+CS^{2}-SJ^{2}}{2.JC.CS}$

Gọi O là giao hai đường chéo của ABCD.
Biết B, biết D. O là trung điểm BD, tính được tọa độ O nhá.
Viết PT đường thẳng SO.
Vì I thuộc SO => Tham số hóa điểm I
Gọi K là trung điểm SB
Có S, có B tính được K nhá.
Rồi cho $\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{SB}=0$
Tìm được I.
Nhân có hướng $\overrightarrow{BI}$ với $\overrightarrow{AC}$ được véc pháp tuyến mặt phẳng cần tìm
Tính AC thì dễ rồi nhá.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. gọi M,N lần lượt là trung điểm SB,SC. gọi I là trung điểm MN, K thuộc CD (K khác C,D).
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và (ABCD).
b. Chứng minh rằng: OI // (SDA)

__________________________________
Buoc Ngoat : Xem cách đặt tiêu đề bài viết tại đây

a) MN//BC => mp(MNK) // BC => mp(MNK) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến // BC.

Qua K kẻ KL //BC. Đây chính là giao tuyến

b)


Qua O kẻ EF // AB => E, F là trung điểm AD, AC
Xét tam giác SBC, có MN là đường trung bình.
=> SP=PE
Xét tam giác SEF
$\frac{EP}{SE}=\frac{EO}{EF}=\frac{1}{2}$
=> OP// SF
=> OP//(SAD).

Mình gọi điểm I là P nhé

Ý a mình ko biết làm.
Ý b thì vẽ như hình nhé.
Ý c, vì I thuộc ME => I thuộc mp(P)
=> IA // BD(1)
Làm tương tự với J
=> JA// BD(2)
Mà I, J, A cùng thuộc (P) => I, J, A thẳng hàng

Ý 2 ko biết có cách nào hay hơn ko. Nhưng cứ tính độ dài từng cạnh rồi dùng công thức herong. Chia tứ diện thành 2 tam giác là xong ngay.

1.trong mặt phẳng Oxy cho A(2,3);B(4,1).Tìm toạ độ C và D sao cho ABCD là hình vuông
2.Cho tứ giác ABCD với A(-5,-1);B(-2,3);C(5,4);D(1,-3).Tính diện tích tứ giác ABCD

Nhớ đổi tiêu đề đi kẻo bài bị xóa đấy.

1 nè.

$\overrightarrow{AB}(2,-2)$

Gọi điểm D$(a,b)$

$\overrightarrow{AD} (a-2,b-3)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}= 0$

=> $2.(a-2)-2.(b-3)=0$

Mặt khác: AB=AD

=>$\sqrt{(a-2)^{2}+(b-3)^{2}}= 2\sqrt{2}$

Giải tìm đc D. Làm tương tự với C

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O,M,\,N$ là trung điểm $SA$ và $SD$.
a) Xác định giao tuyến $(d)$ của mặt phẳng $(OMN)$ với mặt phẳng $(ABCD)$. Chứng minh $(d)//BC$.
b) $P$ và $Q$ là giao điểm của $(d)$ với $CD$ và $AB$. Chứng minh: $MQ//SB$ và $NP//SC$.

a) Qua $O$ kẻ đường thẳng $//MN$ trên $(ABCD)$ ta được $(d)$
Xét $\Delta SAD$ có:

$\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}$

=> $MN//AD => AD//(d)$

Vì $O$ là tâm => P, Q là trung điểm CD và AB

Xét $\Delta ASB$

$\frac{AM}{SA} =\frac{AQ}{AB}=\frac{1}{2}$

=> MQ//SB cái còn lại làm tương tự

Sao ko cập nhấp những bài giải rồi à

$log_{2^{-1}}(4^{|x-1|}+1)\geqslant log_{2}4 - log_{4^{\frac{1}{2}}}(2^{|x-1|}+7)$

<=> $log_{2}(4^{|x-1|}+1) \leqslant log_{2}(\frac{2^{|x-1|}+7}{4})$

<=> $4.4^{|x-1|}+4 \leqslant 2^{|x-1|}+7$

Đặt $2^{|x-1|}$ = k

<=>$4k^{2}-k-3\leqslant 0$