Xét hình vuông $MNPQ$ cạnh 1 tâm $I$ chứa tam giác $ABC$ sao cho $I$ nằm ngoài tam giác.Bài toán 2: Một tam giác đặt vào trong hình vuông đơn vị cạnh $1$ sao cho tâm hình vuông nằm ngoài tam giác. Chứng minh rằng có ít nhất $1$ cạnh tam giác độ dài không vượt quá $1$
Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song với $AB;BC;CA$.Do $I$ nằm ngoài tam giác nên trong các đường thẳng vừa vẽ tồn tại 1 đường thẳng không cắt cạnh nào của tam giác $ABC$ (không mất tính tổng quát giả sử đó là đường thẳng song song với $BC$)
Gọi giao của đường thẳng đó với 2 cạnh của hình vuông là $H;K$.Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $HK$ cắt 2 cạnh hình vuông tại $E;F$. (hình vẽ)
ấ
Khi đó $HK$ chia hình vuông thành 2 phần và có 1 phần chứa toàn bộ tam giác $ABC$ (chính là tứ giác $MHKQ$)
Ta có 1 đường thẳng bất kì chỉ cắt 3 cạnh 1 tam giác tại tối đa 2 điểm phân biệt.
Do đó đường thẳng $IE$ chỉ cắt tối đa 2 cạnh của tam giác $ABC$.Không mất tính tổng quát giả sử $AB$ là cạnh không bị cắt.
Khi đó $AB$ nằm trọn trong tứ giác nội tiếp $EIKQ$ hay trong đường tròn đường kính $EK$
Mặt khác $EK=\sqrt{2}.IK \le \sqrt{2}.IQ=1$.Do đó $AB\le 1$ hay ta có đccm.