chaugaihoangtuxubatu

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x+4}\left ( x\sqrt{x+4}-1 \right )=0$

$\Leftrightarrow x=-4$

hoặc $x^3+4x^2-1=0$

PT thứ hai thì sử dụng máy tính nhé.

Bấm ra số vô tỉ, thế nên mới bí http://emo.me.zdn.vn...ker/milk/25.gif

Mình không hiểu chỗ này Bạn có thể giải thích kĩ hơn được không? :-ss

Giả sử $x_0$ là nghiệm của pt thì ta có: $x_0-\sqrt{1-x_0^2}=m$

Thấy: $-\sqrt{1-x_0^2}$ cũng là nghiệm của pt. Thật vậy, thay $x=-\sqrt{1-x_0^2}$ vào pt ban đầu ta được:

$(-\sqrt{1-x_0^2})-\sqrt{1-(-\sqrt{1-x_0^2})^2}=m$

$\leftrightarrow -\sqrt{1-x_0^2}-\sqrt{1-(1-x_0^2)}=m$

$\leftrightarrow x-\sqrt{1-x_0^2}=m$

Cho $\Delta ABC$ có đường cao $AH$, phân giác $AI$ ($H,I\in BC$). Trên tia $HA$ lấy $E$ bất kì. Cmr: $EI$ là phân giác $\hat{BEC}$

Vẽ đoạn thẳng ACD, trong đó $AC=b$, $CD=c$. Kẻ AB vuông góc với AD tại A và $AB=c$. Tương tự kẻ DE vuông góc với AD tại D và $DE=b$ (B và E ở cùng mặt phẳng bờ AD). Nối BE, BC, CE.
Gọi $BC=a$. Dễ dàng chứng minh được $BC=CE=a$ ( do $\Delta BCA=\Delta CED$ )
Thấy $S_{ABED}=S_{ABC}+S_{CDE}+S_{BCE}$
$\leftrightarrow \frac{(b+c)^2}{2}=\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{a^2}{2}$
$\leftrightarrow b^2+2bc+c^2=2bc+a^2$
$\leftrightarrow b^2+c^2=a^2$
Vậy định lí $Pytago$ đã được chứng minh ( by $chaugaihoangtuxubatu$ )
P/s : Lười vẽ hình, copy cái hình trên mạng nên mấy đoạn $a,b,c$ nó bị nhầm đấy. Mọi người thông cảm.

Chúc mừng sinh nhật Diễn đàn. Chúc các min, mod và tất cả thành viên VMF luôn mạnh khỏe, học giỏi và vui tươi

Ví dụ như nghề giáo viên chẳng hạn. Theo mình thấy thì hầu như ( hầu như thôi nhé) những ai không có sự lựa chọn nào khác mới chọn nghề giáo viên và như trường mình các thầy cô chẳng khuyên học sinh chọn ngành này

Mình và đa số bạn bè của mình đều là con GV. Ai cũng đều có chung một tư tưởng từ thời tấm bé, là "Có chết cũng không làm giáo viên". Không biết có phải ai cũng thế không, chứ mình thấy cái nghề này cao quý thật, nhưng mà bạc lắm.

Bài 29: cho phương trình: $x^{2}+ax+b=0$ có nghiệm $x\geq 2$
tìm GTNN của P=$a^{2}+b^{2}$

Em nhận bài này.
Có : $x^2+ax+b=0$
$\Rightarrow -x^2=ax+b$
$\Rightarrow x^4=(ax+b)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+1) (B.C.S)$
Mà $x\geq 2\Rightarrow x^2+1\geq 5$
$\Rightarrow x^4\leq 5(a^2+b^2)$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{x^4}{5}\geq 3,2$
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow x=2$
Thay vào pt $\Rightarrow 2a+b=-4$
Vậy $minP=3,2$

Bài 1 (4 điểm)
a, Cho hàm số: $y =f(x) =(x^3 +9x -11)^{2013}$
Tính $f(a)$, biết $a =\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$

Chém bài dễ nhất đã, cái gì cũng phải từ gốc mà lên
Có $a^3=5+2\sqrt{13}+5-2\sqrt{13}+3\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}.\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}.(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}})$
$\Rightarrow a^3=10+3a\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}.\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$
$\Rightarrow a^3=10+3a\sqrt[3]{-27}$
$\Rightarrow a^3=10-9a$
$\Rightarrow a^3+9a-11=-1$
$\Rightarrow f(a)=-1^{2013}=-1$
Vậy $f(a)=-1$

Bài này mình thấy đã xuất hiện rất nhiều lần rồi (và hình như là đề thi MO của Trung Quốc thì phải). Lời giải như sau :

Đặt $\left\{\begin{matrix}
x=a+b+2c & & \\
y=2a+b+c & & \\
z=a+b+3c& &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=y+z-2x & & \\
b=5x-y-3z & & \\
c=z-x & &
\end{matrix}\right.$

Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh và viết nó lại thành :
$$\frac{4(y+z-2x)}{x}+\frac{2x-y}{y}-\frac{8(z-x)}{y}\geq 12\sqrt{2}-17$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
$$VT=\left ( \frac{4y}{x}+\frac{2x}{y} \right )+\left ( \frac{4z}{x}+\frac{8x}{z} \right )-17\geq 2\sqrt{8}+2\sqrt{32}-17=12\sqrt{2}-17$$
Vậy ta có đpcm.

Mình định nhẩm ra dấu "=" rồi làm nhưng nhìn thấy con $12\sqrt{2}-17$ thì sợ quá Cho mình hỏi chút, bạn làm thế nào để nghĩ ra cách này vậy?

*Xét với $n=1;2;3$
*Xét với $n>3$
Dễ chứng minh $SCP\equiv 0;1;4$ (mod 5) (1)
Thấy $36\equiv 1$ (mod 5) nên A là SNT khi và chỉ khi $(n^2-8)^2\equiv 0;1;2;3$ (mod 5)
Kết hợp với (1) $\Rightarrow (n^2-8)^2\equiv 0;1$ (mod 5) (2)
Mà $n^2\equiv 0;1;4$ (mod 5)$\Rightarrow n^2-8\equiv 1;2;3$ (mod 5) (3)
Từ (2) và (3) $\Rightarrow n^2-8\equiv 1$ (mod 5) (4)
Mà $n$ lại là số lẻ $\Rightarrow n^2-8$ là số lẻ.
Kết hợp với (4) $\Rightarrow n^2-8$ có tận cùng là 1 $\Rightarrow n^2$ có tận cùng là 9 (vô lí).
Vậy STN cần tìm là $3$.
Mình làm vội, không biết có sai sót gì không, mong m.n sửa chữa.
P/s : mình cũng đang định sang topic đó thì ai lại xóa luôn rồi

Hoang Huy Thong

Cho $a,b,c>0$. Cmr : $A=\frac{4a}{a+b+2c}+\frac{b+3c}{2a+b+c}-\frac{8c}{a+b+3c}\geq 12\sqrt{2}-17$

So sánh : $(2010^{2010}+2011^{2010})^{2011}$ và $(2010^{2011}+2011^{2011})^{2010}$

Tìm m để hệ $\left\{\begin{matrix} mx^2+|x|-y=1-m&&\\x^2+y^2=1&&\end{matrix}\right.$ có nghiệm duy nhất

Cho $0<a,b,c<1$. Cmr : $2a^3+2b^3+2c^3<3+a^2b+b^2c+c^2a$

Bài 1:
Cho số nguyên $\large k$.
a) Chứng minh $\large (k^2+3k+5)$chia hết cho $\large 11$khi và chỉ khi $\large k=11t+4$với $\large t$là số nguyên .

Thay $k=11t+4$ vào phương trình ta được :
$k^2+3k+5=(11t+4)^2+3(11t+4)+5=121t^2+121t+33$ chia hết cho 11 (với t nguyên)
Ai giúp em nốt phần đảo với.