hoangkkk

Mình đã kí hiệu (*) trên bài viết rồi mà, cái sau thì chỉ cần khai triển ra là được mà.

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh $\frac {19b^3-a^3}{ab+5b^2} \leq 4b-a$ (*) là được.
Bất đẳng thức (*) tương đương với $a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0$, luôn đúng với mọi $a,b > 0$

Bài toán 1 : Gọi $A_1, A_2$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $A$ qua các đường phân giác $CE, BD$, dễ thấy rằng $A_1, A_2$ đều cùng thuộc đường thẳng $BC$. Đường thẳng $AA_1$ đi qua $A\left (-3,0 \right )$ và vuông góc với $CE$ nên có phuơng trình là $-2x+y=0$. Gọi $H$ là giao điểm của $AA_1$ và $CE$, tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phuơng trình :
$$\left\{\begin{matrix}
-2x+y+6=0 & \\
x+2y+17=0&
\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left ( \frac{-29}{5};\frac{-28}{5} \right )$$
Do $H$ là trung điểm của $AA_1$, suy ra tọa độ của $A_1$ là $\left ( \frac{-43}{5};\frac{-56}{5} \right )$
Tương tự như trên ta tìm được tọa độ điểm $A_2$ là $\left ( 1;-4 \right )$.
Phương trình đường thẳng $BC$ là : $\frac{x-1}{1+\frac{43}{5}}=\frac{y+4}{-4+\frac{56}{5}}$ hay $BC : 3x-4y-19=0$
Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}
x-y-1=0 & \\
3x-4y-19=0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow B\left ( -15;-16 \right )$
Tọa độ $C$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}
x+2y+17=0 & \\
3x-4y-19=0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow C\left ( -3;-7 \right )$
Vậy tọa độ $B, C$ lần lượt là $\left ( -15;-16 \right )$ và $\left ( -3;-7 \right )$

Bài toán 2 : Cho $A\left ( 1,1 \right )$, $d : 4x+3y-12=0$.
a) Gọi $B, C$ lần lượt là giao điểm của $d$ với $Ox, Oy$. Xác định tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
b) $M$ là điểm chạy trên $d$. Trên nửa đường thẳng đi qua $A$ và $M$ lấy $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=4$. Điểm $N$ chạy trên đường cong nào? Viết phương trình đường cong đó.

Đặt $x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c$, ta có $a=e^x,b=e^y,c=e^z$.
Từ giả thiết $abc=1$ ta suy ra $x+y+z=0$.
Viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành $\sum \left ( e^{3x}-e^{2x} \right )\geq 0$ hay $f(x)+f(y)+f(z) \geq 0$.
Xét hàm $h(t)=e^{3t}-e^{2t}-t$ với $t \in \mathbb{R}$.
Ta có : $h'(t)=3e^{t}-2e^{t}-1$, $h'(t)=0 \Leftrightarrow t=0$
Khảo sát hàm $h(t)$ ta được $\min h(t)=0$, đạt được tại $t=0$. Như vậy $e^{3t}-e^2{t} \geq t$, tương đương với $f(t) \geq t$.
Từ trên suy ra $f(x)+f(y)+f(z) \geq x+y+z=0$ (đpcm)

Khẳng đinh hay phủ định bất đẳng thức sau :
Cho dãy số thực dương $x_1, x_2,..., x_n$, $k> 0, z \in \mathbb{R}$, khi đó ta có :

$$\frac{k}{x_1+\sqrt{x_{1}.x_{2}}+...+\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}...x_{n}}}+\frac{z}{\sqrt{x_1+x_2+...x_n}}\geq -\frac{z^2e}{4k}$$
Với $e= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$
Nếu đúng mong mọi người chứng minh giúp em.

Nhận xét rằng hàm $f$ có đạo hàm tại $x=0$ khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1. $f(x)$ liên tục tại $x=0$
2. $f'(0^+)=f'(0^-)$
Trước hết ta tìm điều kiện của a và b để $f(x)$ liên tục tại $x=0$.
Xét:
$$\lim \limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim \limits_{x \to 0^-}(x+a)e^{-bx}=(0+a)e^{-b.0}=a$$
$$\lim \limits_{x \to 0^+}f(x)=\lim \limits_{x \to 0^+}(ax^2+bx+1)=a.0^2+b.0+1=1=f(0)$$

Để $f(x)$ liên tục tại $x=0$ thì $\lim \limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim \limits_{x \to 0^+}f(x)=f(0)
\Rightarrow a=1$
Tiếp theo ta tìm điều kiện của $a,b$ để $f(0^-)=f(0^+)$
Với $x< 0\Rightarrow f'(x)=[(x+a)e^{-bx}]'=e^{-bx}[1-b(x+a)]$
$\Rightarrow f'(0^-)=e^{-b.0}[1-b(0+a)]=1-ba$

Với $x\geq 0$ tương tự như trên ta thu được $f'(0^+)=b$
Như vậy để $f'(0^-)=f'(0^+)$ thì $1-ba=b$
Kết hợp hai điều kiên nêu trên ta có:
Hàm $f$ có đạo hàm tai $x=0$ khi và chỉ khi thỏa mãn :

$$\left\{\begin{matrix}
a=1 & \\
1-ba=b&
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=1 & \\
b=\frac{1}{2} &
\end{matrix}\right.$$
___________________________
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfoor\dfrac{52-17}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=47$

Đặt $f(t)=\frac{1}{t^2+1}$ với $t\geq 0$. Dễ thấy rằng $f$ là hàm lõm. Áp dụng bất đẳng thức jensen ta có :

$$f(a)+f(b)+f(c) \leq 3f(\frac{a+b+c}{3})=\frac{3}{\frac{(a+b+c)^2}{9}+1}$$
$$\leq \frac{3}{\frac{ab+bc+ca}{3}+1}=\frac{3}{2}$$
Vậy ta có đpcm.

Bạn tham khảo thêm ở đây : http://forum.mathsco...ead.php?t=35750