LeHoangAnh1997

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012

Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$.
BĐT tương đương
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$
Xét:
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}$
$=2-\sum \frac{a(b+c)}{a^2+2bc}$
$=\sum (\frac{2}{3}-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc})$
$=\frac{1}{3}\sum \frac{2a^2+4bc-3ab-3ac}{a^2+2bc}$
$=\frac{1}{3}\sum \frac{(a-2c)(a-b)+(a-2b)(a-c)}{a^2+2bc}$
$=\frac{1}{3}\sum [(a-b)(\frac{a-2c}{a^2+2bc}-\frac{b-2c}{b^2+2ac})]$
$=\frac{1}{3}\sum [(a-b)^2\frac{(4ac+4bc-4c^2-ab)}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\frac{1}{3}\sum [\frac{3ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{(4ac+4bc-4c^2-4ab)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\frac{1}{3}\sum [\frac{3ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{4(c-a)(b-c)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{4(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
Vậy ta cần chứng minh:
$\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}\geq \frac{2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
$\Leftrightarrow \sum ab(a-b)^2(c^2+2ab)\geq 2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2$$\Leftrightarrow [ab(a-b)^2(c^2+2ab)-2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2]+ bc(b-c)^2(a^2+2bc)+ ca(b^2+2ac)(c-a)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow [ab(a-b)^2(c^2+2ab)-2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2]\geq 0(i)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2[ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2]\geq 0$
Vì $ab\geq (a-c)(b-c)$ nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được
$(c^2+2ab)-2(a-c)(b-c)\geq 0$
$\Leftrightarrow c^2+2(ab-(a-c)(b-c))\geq 0(ii)$
Luôn đúng.
Ta có đpcm. Dấu $"="$ xảy ra chỉ khi $a=b=c$ hoặc $abc=0$

(i):Không được xài dấu tương đương ở đây.Nên ghi là do $ca(b^2+2ca)(c-a)^2+bc(a^2+2bc)(b-c)^2 \ge 0$ nên ta chỉ cần chứng minh $ab(c^2+2ab)(a-b)^2-2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \ge 0$.
(ii):Phải giải thích tại sao ta lại có 1 BĐT luôn đúng.
Bài làm này khá giống với bài của thí sinh doxuantung nên sẽ xét sau.


Điểm tạm thời:8/10

S = 14 + 3*8 = 38

Nhờ mấy bác giỏi Tin học sửa lại Font chữ của cái này giúp mình:

Bình thường mà bạn!

Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Em xin giải như sau:

Gọi $X=1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$
Ta có:
$X=1-\dfrac{x}{1}+\dfrac{x(x-1)}{1.2}-\dfrac{x(x-1)(x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\dfrac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{x}{k} = (-1)^n\binom{x-1}{n}=(-1)^n.\dfrac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}$
Vậy phương trình đã cho có $n$ nghiệm phân biệt $\left \{ ;1;2;...;n \right \}$

S=0

Em xin phép trả lời:

Đặt $x=y =0$, và $f(0) = t$, chúng ta nhận được $f(t)=t^{2}$. Ngoài ra, f ($x^2$+ t) = $f (x)^2$ và f (f (x)) = x + $t^2$. Bây giờ chúng ta đánh giá f ($t^2$ + $f (1)^2$) theo hai hướng. Đầu tiên, nó bằng $f (f (1)^2 + f (t))$ = t + $f (f (1))^2$ = t + (1 + $t^2$) 2 = 1 + t + $2t^2$ + $t^4$. Thứ hai, nó bằng $f(t^2 + f (1 + t))$ = 1 + t + $f(t)^2$ = 1 + t + $t^4$. Vì vậy, t = 0 nên $f(0)=0$

Từ đó ta suy ra $f(f (x)) = x$, và $f(x^2) = f (x)^2$. Với y bất kỳ,đặt z = f (y). Khi đó y = f (z), do đó, $f (x^2 + y) = z + f (x)^2 = f (y) + f (x)^2$. Chon z sao cho $x = z^2$. Khi đó $f (x + y) = f (z^2 + y) = f (y) + f (z)^2 = f (y) + f (z^2) = f (x) + f (y)$. Đặt y = x, chúng ta thu được 0 = f (0) = f (x +-x) = f (x) + f (-x). Do đó f (-x) = - f (x). Do đó f (x + y) = f (x) + f (y) và f (x - y) = f (x) - f (y) cho tất cả x, y.

Chọ y để f(x) = y. Nếu y> x,đặt z = y - x. Khi đó f (z) = f (y - x) = f (y) - f (x) = x - y =-z. Nếu y <x, sau đó để z = x - y và f (z) = f (x - y) = f (x) - f (y) = y - x. Trong cả hai trường hợp, chúng ta nhận được một số z> 0 với f (z) = z <0. Chọn $w$ để $w^2 = z$, khi đó $f(z) = f (w^2) = f (w)^2$> = 0. Mâu thuẫn. Vì vậy, nên f (x) = x. Thử lại thấy thỏa mãn.Vậy $f(x)=x$

Không thử lại:-1đ
D-B=22.5h
E=9
F=0
S=56.5