1110004

Cách 1:

 

Chọn $x=y=0.8,z=1.4$ dễ dàng kiểm chứng $k=1,2$ BĐT trên không đúng. Ta sẽ chứng minh $k$ nguyên dương nhỏ nhất để BĐT đề bài cho luôn đúng là $k=3$.

Với $k=3$ ta cần chứng minh: ${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$
Không mất tính tổng quát ta giả sử $x \le y \le z$. Khi đó luôn tồn tại $m>n \geq 0$ sao cho $x=m-n,y=m+n$. Khi đó:

$$z = 3 - 2m; m = \frac{{x + y}}{2} \le 1$$

* Xét hàm số: $$\displaystyle f\left( n \right) = {\left( {m - n} \right)^3}{\left( {m + n} \right)^3}{z^3}\left[ {{z^3} + {{\left( {m - n} \right)}^3} + {{\left( {m + n} \right)}^3}} \right] = {z^3}{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^3}\left( {{z^3} + 2{m^3} + 6m{n^2}} \right)$$

Khi đó: 

$$f'(n)= {z^3}{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^2}\left( { - 6nz^3 - 48m{n^3}} \right) \le 0$$

Do đó:

$$f\left( n \right) \le f\left( 0 \right) = {m^6}{z^3}\left( {{z^3} + 2{m^3}} \right) = {m^6}{\left( {3 - 2m} \right)^3}\left( {{{\left( {3 - 2m} \right)}^3} + 2{m^3}} \right)$$

* Xét hàm số :

$$g\left( m \right) = {m^6}{\left( {3 - 2m} \right)^3}\left[ {{{\left( {3 - 2m} \right)}^3} + 2{m^3}} \right]$$

Ta có: 

$$g'\left( m \right)= 18{m^5}{\left( {3 - 2m} \right)^2}\left( {m - 1} \right)\left[ {\left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} - 37m + 26} \right) - 1} \right] \ge 0$$

Vậy $$g\left( m \right) \le g\left( 1 \right) = 3$$

Tức: $${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$$

 

Cách 2: (Nguyễn Văn Huyện)

 

Lập luận tương tự như cách 1. Ta cần chứng minh:$${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$$

 

Không mất tính tổng quát ta giả sử $z$ là số lớn nhất trong ba số $x,y,z$. Đặt $\displaystyle t = \frac{{x + y}}{2}$ và:$$f\left( {x,y,z} \right) = {x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)$$

Ta sẽ chứng minh $f\left( {x,y,z} \right) \le f\left( {t,t,z} \right)$.

 

Ta có:

$$f\left( {t,t,z} \right) - f\left( {x,y,z} \right) = {z^3}\left[ {{t^6}\left( {2{t^3} + {z^3}} \right) - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)} \right]$$

Mà:

$${t^6}\left( {2{t^3} + {z^3}} \right) - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) = {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3}} \right)= {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - {x^3}{y^3}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)= {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - 2t{x^3}{y^3}\left( {4{t^2} - 3xy} \right)\ge {t^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - 2t{x^3}{y^3}\left( {4{t^2} - 3xy} \right)= 3t\left( {{t^2} - xy} \right)\left[ {{t^6} + xy\left( {2xy + {t^2}} \right)\left( {{t^2} - xy} \right)} \right] \ge 0$$

Vậy $$f\left( {x,y,z} \right) \le f\left( {t,t,z} \right) = f\left( {t,t,3 - 2t} \right) = {t^6}{(3 - 2t)^3}\left[ {2{t^3} + {{(3 - 2t)}^3}} \right]$$

Ta chỉ cần chứng minh: $${t^6}{(3 - 2t)^3}\left[ {2{t^3} + {{(3 - 2t)}^3}} \right] \le 3$$

(Làm như cách 1)

 

Còn một cách làm và vài lời nhận xét bạn đọc quan tâm xem link đính kèm!

https://goo.gl/p4xQPV

Bài 2

$k=1, 2$, cho $2x=2y=z=\frac{3}{2}$ không thoả mãn.

$k=3$. Giả sử $x\leq 1$ min. Ta có $x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3)=xyz(\frac{2x}{3-x})^2(\frac{(3-x)yz}{2})^2(9x^2-27x+27-(3-x)yz)$. 

 

Phải là: $x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3)=xyz(\frac{2x}{3-x})^2(\frac{(3-x)yz}{2})^2(9x^2-27x+27-3(3-x)yz)$ khi đó áp dụng AM -GM không được

biến đổi vế trái:

$ VT=a(x^{2}+z^{2})+b(x^{2}+y^{2})+c(y^{2}+z^{2}) \geq 2(azx+bxy+cyz) $

đến đây áp dụng BĐT chebychev ta có:

$ azx+bxy+cyz \geq \frac{1}{3}(a+b+c)(xy+yz+zx) $

mà theo bất đẳng thức AM-GM ta có: $ a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3 $

suy ra $ 2(azx+bxy+cyz) \geq 2(xy+yz+zx) $

từ đó ta có đpcm 

Đoạn dùng BĐT Chebychev là sao dùng được vậy bạn? Vì $x,y,z$ đâu có vai trò như nhau đâu nên không thể sắp thứ tự được do đó Chebychev được hk?

Mình có 2 kết quả mạnh hơn bài toán như sau (Chứng minh bằng BĐT Cauchy):

Kết quả 1:  Nếu $x,y,z,a,b,c$ là các số thực dương thì BĐT sau luôn đúng \[{x^2}\left( {a + b} \right) + {y^2}\left( {b + c} \right) + {z^2}\left( {c + a} \right) \ge 2\left( {xy + yz + xz} \right)\sqrt {\frac{{ab + bc + ca}}{3}}\]

 

một kết quả mạnh hơn nữa

 

Kết quả 2: Nếu $x,y,z,a,b,c$ là các số thực dương thì BĐT sau luôn đúng  \[{x^2}\left( {a + b} \right) + {y^2}\left( {b + c} \right) + {z^2}\left( {c + a} \right) \ge 2\sqrt {\left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \]

Mọi người xem cách 2 của mình có đúng không:

$\frac{6t-4t^{2}}{3-3t}=f(t);f'(t)=\frac{12t^{2}+24t+18}{(3-3t)^{2}}> 0\Rightarrow f(t)min=f(\frac{3}{4})=3\Rightarrow P\geq 3$

Dấu = khi a=b=c=1/2.

 

Đoạn đó sai! hàm gián đoạn tại $t=1$.

                                                                                                   ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA TỈNH QUẢNG BÌNH 

 

Câu 5 : Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $a \geq b \geq c$ . Chứng minh rằng

$$\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(c+b-\sqrt{bc})} \geq a+b+c$$

 

 

Câu này đề có đánh nhầm không bạn!