tiendat276

Bài 2 bài số học ko ai làm cả à?

$$(1+a)^n \geq 1+ na, \forall n \in \mathbb{N}^*$$

* Với $n=1$: $1+a\geq 1+a$ (đúng)

*Với $n=k$, giả sử $(1+a)^k \geq 1+ ka$ đúng

Ta cần chứng minh phương trình trên cũng đúng với $n=k+1$, tức ta chứng minh:

$(1+a)^{k+1} \geq 1+ (k+1)a$

Thật vậy ta có:

$(1+a)^k \geq 1+ ka$

$\Leftrightarrow (1+a)^k.(1+a) \geq (1+ ka)(1+a)$

$\Leftrightarrow (1+a)^{k+1}\geq ka^{2}+ka+a+1$

$\Leftrightarrow (1+a)^{k+1}\geq ka^{2}+1+(k+1)a$ (1)

Ta xét BPT sau:

$ka^{2}+1+(k+1)a\geq 1+(k+1)a$

$\Leftrightarrow ka^{2}\geq 0$ (đúng do $k \in \mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow ka^{2}+1+(k+1)a\geq 1+(k+1)a$ (2)

(1) và (2) $\Rightarrow (1+a)^{k+1}\geq 1+(k+1)a$ (đúng với $n=k+1)$

Vậy theo nguyên lý quy nạp:

$$(1+a)^n \geq 1+ na, \forall n \in \mathbb{N}^*$$

bạn sai ngay từ đầu ở chỗ: bạn chọn $n=1$ đúng nhưng với $n=2$ thì mệnh đề chưa chắc đã đúng. Mà theo quy nạp thì với n=1 đúng và giả sử n=k đúng với $k\geqslant 1$ thì phải đảm bảo là mệnh đề chỉ đúng khi giá trị n từ 1 đến k thì làm mệnh đề vẫn đúng