hand of god

Cho $x,y,z$ không âm và $xyz=1$. Chứng minh rằng:$$\frac{x(y+z)^{2}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y(x+z)^{2}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z(y+x)^{2}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\geq 2$$
___

NLT: Không đặt tiêu đề quá dài !

Theo AM-GM ta có:$x(y+z)^{2}\geq 2x\sqrt{x}$
$y(x+z)^{2}\geq 2y\sqrt{y}$
$z(y+x)^{2}\geq 2z\sqrt{z}$
Đặt: $a=x\sqrt{x}$, $b=y\sqrt{y}$, $c=z\sqrt{z}$
Đẳng thức viết lại thành:
$P=$$\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}$
Đến đây sử dụng cauchy-schwarz là được,
OK

chém bài 3: $\left\{\begin{matrix} \left ( y^{2} + x \right )\left ( xy + 1 \right )=9y^{2} & & \\ y^{2} + x + xy + 1 =6y & & \end{matrix}\right.$
Theo điịnh lý vi-ét thì $y^{2} + x$ và $xy + 1$ là nghiệm của pt :
$X^{2} - 6yX + 9y^{2} = 0$
có $\Delta = 0$ suy ra:$\left\{\begin{matrix} y^{2} + x = 3y & & \\ xy + 1 = 3y& & \end{matrix}\right.$
Đến đây tự giải tiếp được rồi.

Bài 1:

• x⁴ - 4x² + 4 +(y - 3 )² = 4
• (x² - 2)(y-3) + 4(x²-2) + 4(y-3)=4

Đặt x² - 2= u, y - 3= v;đưa về hệ đối xứng