Kool LL

Cho 3 đườn tròn $(O_1,R_1)\ , (O_1,R_2)\ ,\ (O_3,R_3)$ bất kì có tâm cố định.

1/. Gọi $(I,r)$ là đường tròn nội tiếp 3 đường tròn trên nếu nó lần lượt tiếp xúc ngoài với cả 3 đường tròn đó. Tìm điều kiện cần và đủ của $R_1,R_2,R_3$ để tồn tại đường tròn nội tiếp? Tính $r$ theo $R_1,R_2,R_3$ khi đó? Có thể dựng được $(I,r)$ hay không?

2/. Gọi $(O,R)$ là đường tròn ngoại tiếp 3 đường tròn trên nếu nó lần lượt tiếp xúc trong với cả 3 đường tròn đó. Tìm điều kiện cần và đủ của $R_1,R_2,R_3$ để tồn tại đường tròn ngoại tiếp? Khi đó, tính $R$ theo $R_1,R_2,R_3$? Có thể dựng được $(O,R)$ hay không?

3/. Gọi $(I'_1,r'_1)$ là đường tròn bàng tiếp nội tại $(O_1)$ của 3 đường tròn trên nếu nó lần lượt tiếp xúc trong với $(O_1)$ và tiếp xúc ngoài với $(O_2)$ và $(O_3)$. Tìm điều kiện cần và đủ của $R_1,R_2,R_3$ để tồn tại đường tròn bàng tiếp nội tại $(O_1)$? Khi đó, tính $r'_1$ theo $R_1,R_2,R_3$? Có thể dựng được $(I'_1,r'_1)$ hay không?

4/. Gọi $(O'_1,R'_1)$ là đường tròn bàng tiếp ngoại tại $(O_1)$ của 3 đường tròn trên nếu nó lần lượt tiếp xúc ngoài với $(O_1)$ và tiếp xúc trong với $(O_2)$ và $(O_3)$. Tìm điều kiện cần và đủ của $R_1,R_2,R_3$ để tồn tại đường tròn bàng tiếp ngoại tị $(O_1)$? Khi đó, tính $R'_1$ theo $R_1,R_2,R_3$? Có thể dựng được $(O'_1,R'_1)$ hay không?

(Bài này tôi post lên diễn đàn cách đây đúng tròn 1 năm, bên Hình Học của Toán THCS, nay post lại sang đây chắc sẽ có nhiều cao thủ ghé thăm hơn. Không biết làm vậy có vi phạm quy định gì không nữa)

Cho $a,b,c>0$ ; $n\ge1$ ; $k\ge 2n$. CMR:

$$\frac{a+b}{na+kb+nc}+\frac{b+c}{nb+kc+na}+\frac{a+c}{nc+ka+nb}\ge \frac{6(k-n)}{(k-1)(k+2n)}$$

Tìm tất cả các số nguyên $x,y$ thoả $\frac{x^2-x+2}{y}$ và $\frac{y^2+y+2}{x}$ đều là các số nguyên.

Cho $n$ là số nguyên dương, và số $(n^n+1)$ chỉ có $m$ ước nguyên tố là $p_1<p_2<...<p_m$. CMR:
a) Nếu $n$ chẵn thì $\forall i=\overline{1,m}$ ta có : $p_i>n$ và $(p_i-1)\ \vdots\ n$.
b) Nếu $n$ lẻ thì $\exists k$ thỏa $p_1<...<p_k<n<p_{k+1}<...<p_m$ và $(\prod_{i=1}^{k}p_i-1)\ \vdots\ n$ và $(p_i-1)\ \vdots\ n\ (\forall i=\overline{k+1,m})$