Đến nội dung

universe

universe

Đăng ký: 29-10-2012
Offline Đăng nhập: 21-08-2014 - 18:54
-----

Trong chủ đề: Xác định tất cả các số nguyên dương (a,b) sao cho $a+b^2$ chia...

11-06-2014 - 22:10

Giải như sau:
TH1: $a\le b$
$a+b^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a^3+b^2a^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a^3+a+b^2a^2-a \vdots ab^2-1 \Rightarrow a^3+a \vdots ab^2-1 \Rightarrow a(a^2+1) \vdots ab^2-1 \Rightarrow a^2+1 \vdots ab^2-1$ (do $gcd(a,ab^2-1)=1$)
Suy ra $a^2+1\geq ab^2-1 \Rightarrow a^2+2\geq ab^2 \Rightarrow a^2+2\geq b^2$ (do $a\geq 1$) mà $a\le b$ nên $a=b$ vì nếu $a=b-k$ với $b>k>0$ thì $(b-k)^2+2\geq b^2 \Rightarrow b^2-2bk+k^2+2\geq b^2 \Rightarrow k^2+2\geq 2bk>2k^2$ (do $b>k$) khi ấy $k^2\le 2$ nên $k=1$ khi ấy $a=b-1$ ta có $(b-1)^2+2\geq b^2 \Rightarrow 3\geq 2b \Rightarrow b=1$ (do $b$ dương) nên $a=0$ vô lí, như vậy $a=b$ do đó $a+a^2 \vdots a^3-1 \Rightarrow a(a+1) \vdots a^3-1$ mà $gcd(a,a^3-1)=1 \Rightarrow a+1 \vdots a^3-1 \Rightarrow a+1\geq a^3-1 \Rightarrow a+2\geq a^3$ với $a\geq 2$ ta cm dễ dàng $f(a)=a^3-a-2$ đồng biến trên $[2,\infty$ nên $f(a)\geq f(2)>0$ do đó $a^3>a+2$ suy ra vô lí do đó $a=1$ khi ấy $a=b=1$ nên $a+b^2 \vdots 0$ vô lí
TH2: $a>b$ khi ấy $a+b^2 \vdots a^2b-1 \Rightarrow a+b^2 \vdots a(ab)-1 \Rightarrow a+b^2\geq a(ab)-1>ab^2-1$ (do $a>b$)
Như vậy $a+b^2\geq ab^2-1 \Rightarrow 2\geq (a-1)(b^2-1)$ suy ra $(a-1)(b^2-1)=0,1,2$
Nếu $(a-1)(b^2-1)=0 \Rightarrow a=1$ hoặc $b=1$ với $a=1$ thì $b^2+1 \vdots b-1 \Rightarrow b^2-1+2 \vdots b-1 \Rightarrow 2 \vdots b-1$ nên $b-1=1,2 \Rightarrow b=2,3$ còn nếu $b=1$ thì $a+1 \vdots a-1 \Rightarrow 2 \vdots a-1$ nên $a=2,3$
Nếu $(a-1)(b^2-1)=1 \Rightarrow b^2-1=1 \Rightarrow b^2=2$ vô lí
Nếu $(a-1)(b^2-1)=3$ thì $b^2-1=1,3$ chọn $b^2-1=3 \Rightarrow b=2$ khi ấy $a-1=1 \Rightarrow a=2$ thay vào ta có $2+2^2 \vdots 2^3-1$ dễ loại
Vậy $\boxed{(a,b)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}$
--------------
Hình như $3;1$ loại Nguyên à

ở dòng đầu, bạn ghi chia hết cho a^2b-1 rồi ghi chia hết cho ab^2-1! Sai rồi bạn


Trong chủ đề: Xác định tất cả các số nguyên dương (a,b) sao cho $a+b^2$ chia...

11-06-2014 - 21:08

Được, đã vậy mình xin post thêm cách khác
Giải như sau:
$a+b^2=k(a^2b-1) \Rightarrow a+b^2=ka^2b-k \Rightarrow b^2-b(ka^2)+(a+k)=0$
Suy ra $\Delta_b=(ka^2)^2-4(a+k)$ phải là số chính phương với $a,k$ nguyên dương (tức $a,k\geq 1$)
Từ đây lập luận thêm về tính đồng biến nghịch biến và kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp nên có $đpcm$

bạn giải thích rõ hơn dc ko


Trong chủ đề: Đề toán không chuyên phổ thông năng khiếu 2014

07-06-2014 - 19:13

sáng bỏ câu tỉ lệ nghịch >< vs câu hình cuối T_T về mới thấy nó dễ . 

mình còn câu c bài hình, về nhà dùng định lí hàm cos thì ra, bạn làm cách nào, còn môn anh thi dc ko


Trong chủ đề: Chứng minh rằng trên tờ giấy kẻ các ô vuông bằng nhau, không thể dựng đượ...

08-02-2014 - 22:10

Thế nghĩa là sao??????

cách giải mình đúng không mnguyen99


Trong chủ đề: Chứng minh rằng trên tờ giấy kẻ các ô vuông bằng nhau, không thể dựng đượ...

08-02-2014 - 22:07

quá đơn giản bởi vì cạnh góc vuông thì luôn bé hơn cạnh huyền mà

nhầm rồi bạn, các cạnh của tam giác đâu nhất thiết phải trùng các đường thẳng của mặt phẳng

đây là cách giải của mình:

vẽ 1 hệ trục tọa độ bất kì có 2 trục trùng với đường thẳng trong mặt phẳng.

các đỉnh ô vuông là các điểm có tung độ và hoành độ đều nguyên.

bài toán sẽ dẫn tới tìm nghiệm nguyên của pt: $a^{2}+b^{2}$ = $c^{2}+d^{2}$ = $(a+c)^{2}+(b+d)^{2}$ với a,c không đồng thời bằng 0; tương tự b và d

rất dễ chứng minh a,b,c,d đều chia hết cho 2

dùng phương pháp xuống thang chứng minh pt vô nghiệm