ilovemath97

Cho tam giác $ABC$ đường cao $BB',CC'$ cắt nhau tại $H$. Phân giác $\angle C'HB$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. $M$ trung điểm $BC$. Phân giác góc $BAC$ cắt $HM$ ở $R$. CMR $P,Q,R,A$ đồng viên

Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ thuộc đoạn $BC$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ vuông góc $AB$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$, $Q$ là giao của đường thẳng qua $M$ vuông góc $AC$ và đường thẳng qua $C$ vuông góc $BC$. Lấy $M'$ trên $BC$ để $AM'$ vuông góc $PQ$. CM $BM$=$M'C$.

                                                     .......................................................

(1 bài trong tài liệu lê quý đôn của thầy Trần Quang Hùng, mình tìm đc 1 lời giải nhưng nó ko hay

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $I$ ,$J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ACD$ và $ABC$. Đường tròn $(O')$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $T$ đồng thời tiếp xúc với 2 cạnh $AD$, $AB$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $T$ cắt nhau tại $K$.

Chứng minh $K,I,J$ thẳng hàng khi và chỉ khi các đường tròn nội tiếp của cá tam giác $ACD$ và $ABC$ có bán kính bằng nhau.

 

                                    (Kiểm tra đội tuyển QG của Quốc học Huế)

Trường THPT chuyên Quốc Học Huế Lớp 10- Thời gian 180 phút
Tổ Toán

Câu 1(4 điểm)

Giải phương trình:

$\sqrt{x+\frac{14}{x}}+\sqrt{4-x+\frac{14}{4-x}}=6$
Câu 2(4 điểm)

Tìm $a,b,c\in \mathbb{N^{*}}$ sao cho biểu thức $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ đạt giá trị nhỏ nhất, biết rằng $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $ab+bc+ca\geq 299$

Câu 3(4 điểm)

Trong mặt phẳng cho trục x'Ox và 4 điểm $A,B,C,D$ $\in x'Ox$ sao cho $A,B$ có tọa độ dương và $C,D$ có tọa độ âm thỏa mãn $OA.OB =OC.OD=1$. Xét 2 đường tròn $(O1);(O2)$ có đường kính lần lượt là $AB,CD$. Tiếp tuyến chung ngoài của $(O1);(O2)$ tiếp xúc với $(O1);(O2)$ lần lượt tại $A1,B1$.Tiếp tuyến chung trong của $(O1);(O2)$ tiếp xúc với $(O1);(O2)$ lần lượt tại $A2,B2$. Gọi $I$ là giao điểm của $A1A2$ và $B1B2$. Tìm tập hợp các điểm $I$ khi $A,B,C,D$ thay đổi

Câu 4(4 điểm) Gọi $a,b$$(a>b)$ là 2 nghiệm của phương trình $X^{2}-X-1=0$. Đặt$u$n = $\frac{1}{\sqrt{5}}(a^{n}-b^{n}), n\in \mathbb{N}^{*}$
a. Chứng minh rằng $u$n $\in \mathbb{N}$
b. Chứng minh có vô hạn $n\in \mathbb{N}$ thỏa $u$n chia hết cho 2013

Câu 5(4 điểm)

Cho $m\in \mathbb{N}^{*}$, gọi $C$ là tập con của tập hợp $\begin{Bmatrix}0,1,2,...,m \end{Bmatrix}$ sao cho $\left | C \right |\geq \frac{m}{2}+1$. Chứng minh rằng trong $C$ tồn tại một phần tử có dạng $2^{s}$,$(s\in \mathbb{N})$ hoặc tồn tại hai phần tử phân biệt có tổng là 1 số có dạng $2^{s}$,$(s\in \mathbb{N})$

...........................................................................................................................
P/S: Đề này mình chém đc câu 1,2,3 và 4a. Trong lớp có 4 đứa làm đc 4.5 câu và 1 đứa đc 4 câu. Còn 10 toán 2 ko bik thế nào, chán ghê, mong chờ điều kì diệu