Nguyen Duc Thuan

Họ tên: Nguyễn Đức Thuận
Nick trong diễn đàn (nếu có): Nguyen Duc Thuan
Năm sinh: 1999
Hòm thư: [email protected]
Dự thi cấp: THPT

Cho $a,b\epsilon R$ và $n\epsilon \mathbb{N}$

CMR: $\frac{a^n+b^n}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^n$

BDT tương đương với:

$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq \left ( a+b \right )^n$

Đây chính là BDT Holder cho $n-1$ bộ $(1;1)$ và bộ (a;b)

(Q.E.D)

Cho a,b,c dương TM a+b+c=6abc.CMR:$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ac}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}\geq 2$

Từ GT ta có: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6$

Đặt $\sum \frac{1}{a}=\sum x\Rightarrow xy+yz+zx=6$

Áp dụng  BĐT Cauchy-Schawrz ta có:

$P=\sum \frac{x^3}{y+2z}=\sum \frac{x^4}{xy+2zx}\geq \frac{(x^2+y^2+x^2)^2}{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq 2$

(do $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx=6$)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/2

 

Câu 5 .

Giải phương trình:$x^3+6x^2+5x-3-(2x+5)\sqrt{2x+3}=0$

 

Mình làm còn câu 5.Câu 5 lại còn 1,5 điểm trượt là cái chắc câu 1,2,3 cơ bản nên mình không đánh lên

Mình thử trình bày nhé:

ĐKXD: $x\geq -\frac{3}{2}$

Biến đổi tương đương (khéo léo một chút), ta có pt:

$(x+1)^3+3(x+1)^2+2(x+1)=(2x+3)\sqrt{2x+3}+3(2x+3)+2\sqrt{2x+3}$

Đặt $x+1=a;\sqrt{2x+3}=b$   (  $a\geq \frac{-1}{2};b\geq 0$)

Ta được PT mới:

$a^3+3a^2+2a=b^3+3b^2+2b$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+3a+3b+2)=0$

Xét $M=a^2+ab+b^2+3a+3b+2=\left ( a+\frac{b}{2} \right )^2+\frac{3b^2}{4}+\left ( 3a+\frac{3}{2} \right )+b+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}>0$

$\Rightarrow a=b\Leftrightarrow x+1=\sqrt{2x+3}$

$\Rightarrow x^2=2$

Chỉ chọn được 1 nghiệm là: $x=\sqrt{2}$

Bài 3:Tìm tất cả số nguyên dương $n$ thỏa mãn:1500<n<2000 sao cho chúng có đúng 16 ước số trong đó có ước là 19

Ta đặt $n=19k$

chặn như sau: $78<k<106$

Do n có 16 ước nên số ước số dương là 8

Mặt khác, khi dạng phân tích tiêu chuẩn của số $a=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}...p_i^{d_i}$

thì số ước số dương của $a$ là $(d_1+1)(d_2+1)(d_3+1)...(d_i+1)$

suy ra số ước dương của $k$ là 4 (do $n$ có 8 ước dương và $n=19k$)

$\Rightarrow k=pq$ với $p,q$ nguyên tố => $(p;q)\in \left \{ (2;41),(2;43),(2;47),(3;29),(3;31),(5;17),(5;19),(7;13) \right \}$

Từ đó thay vào tính $n=19pq$