phudinhgioihan

Đề ĐẠI SỐ

 

Bài 1:

Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp $n \in \mathbb{N}^*$. Giả sử tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_1,...,t_{n+1}$ sao cho

$C_i=A+t_iB,\;i=1,...,n+1$ là lũy linh. Hãy chứng minh rằng $A,B$ là các ma trận lũy linh.

 

Bài 2:

Cho $a_0$ và $d$ là các số thực.Với $j=0,...,n$, đặt $a_j=a_0+jd$. Cho

$$A=\begin{pmatrix}a_0 &a_1 &a_2 &\cdots &a_n \\a_1 &a_0 &a_2 &\cdots & a_{n-1}\\ a_2 &a_1 &a_0 &\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_n &a_{n-1} &a_{n-2} &\cdots &a_0 \end{pmatrix}$$

 

Hãy tính định thức của $A$ theo $a_0,d,n$

 

Bài 3:

Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $A^3=A+I_n$ với $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Chứng minh rằng $\det A>0$

 

Bài 4:

Tìm tất cả ma trận thực vuông $A$ cấp $2$ sao cho $A^2=I_2$ với $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2.

 

Bài 5:

 

Cho bất phương trình

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015$$

 

Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.

 

Bài 6:

Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n\in \mathbb{N}^*$ với các hệ số thực và chỉ có nghiệm thực. Chứng minh rằng

 

$$(n-1)\left(P^{'}(x) \right)^2 \ge nP(x)P^{''}(x)$$

 

 

Đề GIẢI TÍCH

 

Bài 1:

Cho hai số thực dương $a$ và $a_1$. Định nghĩa dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ bới

$$a_{n+1}=a_n(2-aa_n) ,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$$

 

Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của $(a_n)_{n \ge 1}$

 

Bài 2:

Cho $f:[0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm thỏa mãn $f(0)<0,\; f(1)>0$ . Giả sử tồn tại hàm liên tục $g$ trên $[0;1]$ sao cho hàm $f+g$ giảm trên $[0;1]$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(0;1)$.

 

Bài 3:

Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(xf(y))=yf(x), \;\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

Bài 4:

Giả sử $f:[a;b] \to \mathbb{R}\;,\; b-a\ge 4$ là hảm khả vi trên $(a;b)$. Chứng minh tồn tại $x_0\in (a;b)$ sao cho

$$f^{'}(x_0)<1+f^2(x_0)$$

 

Bài 5:

Giả sử $f:[-1;1] \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và biết rằng $f(-1)=f(0)=f^{'}(0)=0,f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (-1;1)$ sao cho $f^{'''}( c ) \ge 3 $

 

Bài 6:

Giả sử $\Re=\{ f\in C^2[0;1]:\; f(0)=f(1)=0, f^{'}(0)=a \}$

 

Tìm $\min_{f \in \Re} \int_0^1 \left( f^{''}(x) \right)^2 dx $

Môn GIẢI TÍCH

Bài 1:

Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau

$$x_1>0, \;\;\;, x_{n+1}=\dfrac{x_n^3+4x_n}{x_n^2+1},\; n \ge 1$$

 

Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{n^2}=0$

 

Bài 2:

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện: $f(x)>0$, đơn điệu tăng và $f^{''}(x)<0 \;, \forall x>0$. Chứng minh tồn tại số $M$ sao cho

$$f(x)<Me^\frac{x}{2014} ,\; \forall x>0$$

 

Bài 3:

Cho $f:[0;1] \to [0;+\infty)$ khả vi và hàm đạo hàm cấp một đơn điệu giảm và $f(0)=0,\; f^{'}(1)>0$, chứng minh

$$\int_{0}^1 \dfrac{dx}{f^2(x)+1} \le \dfrac{f(1)}{f^{'}(1)}$$

Khi nào đẳng thức xảy ra?

 

Bài 4:

Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn

$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$

Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.

 

Bài 5:

Chứng minh nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và $f(x) \neq x\;, \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x)) \neq x ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

 

Bài 6:

Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:

• $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$

• $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$

• $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$

 

 

Môn ĐẠI SỐ

 

Bài 1:

Cho các số thực $a_1,...,a_n,x_1,...,x_n , \; n \ge 2$, tính định thức cấp $n$ sau:

 

$$D=\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}&a_n\\-x_1 &x_2 &0 &\cdots &0 &0  \\0 &-x_2 &x_3 &\cdots &0 &0  \\\cdots \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots  \\0 &0 & 0& \cdots& -x_{n-1}& x_n\end{vmatrix}$$

 

Bài 2:

Cho $A,B$ là các ma trận thực cấp $n$ khác nhau thỏa mãn $A^3=B^3,\; A^2B=B^2A$. Chứng minh $A^2+B^2$ suy biến.

 

Bài 3:

Cho $A,B$ là các ma trận vuông khả nghịch, chứng minh nếu $A+B$ khả nghịch thì $A^{-1}+B^{-1}$ cũng khả nghịch.

 

Bài 4:

Cho $A$ là ma trận thức cấp $4\times 2$ và $B$ là ma trận thực cấp $2 \times 4$ sao cho

$$AB=\begin{pmatrix}1&0&-1&0 \\0&1&0&-1 \\-1&0&1&0 \\0&-1&0&1 \end{pmatrix}$$

 

Tìm $BA$

 

Bài 5:

 

Xác định ma trận $A$ biết rằng ma trận phụ hợp của nó là

$$A^{*}=\begin{pmatrix} m^2-1&1-m&1-m\\1-m&m^2-1&1-m \\1-m&1-m&m^2-1 \end{pmatrix}\;, m \neq 1, m\neq -2$$

 

Bài 6:

 

Cho hệ phương trình

 

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\end{cases}$$

 

Với các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn

• $a_{11},a_{22},a_{33}$ là các số thực dương
• Tất cả các hệ số khác âm
• Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là số thực dương

Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x_1=x_2=x_3=0$

Kỷ yếu gồm có: giới thiệu về trường ĐH Phạm Văn Đồng (Quãng Ngãi)-nơi tổ chức kỳ thi năm 2014, đề thi chính thức 2 môn ĐS và GT, một số bài dự tuyển của các trường.

ĐỊA ĐIỂM:
Trường đại học Kinh tế - Đại học Huế
Số 3 Lê Lợi, thành phố Huế, Thừa Thiên Huế
 
THỜI GIAN: 13-19/4/2015
 
BAN TỔ CHỨC:

• Các đồng trưởng ban: GS. TSKH. Phùng Hồ Hải - Tổng thư ký Hội Toán học Việt Nam và PGS. TS. Trần Văn Hòa - Hiệu trưởng Trường đại học Kinh tế, Đại học Huế.

• Phó ban: GS. TSKH. Phạm Thế Long - Phó chủ tịch Hội THVN; PGS. TS. Nguyễn Tài Phúc - Phó hiệu trưởng Trường đại học Kinh tế - Đại học Huế; GS. TS. Lê Văn Thuyết - UV BCH Hội THVN và ĐH Huế; Đại diện Bộ GD và ĐT; Đại diện TW Hội Sinh viên Việt Nam.

• Uỷ viên: TS. Đoàn Trung Cường - Viện Toán học; TS. Lê Cường - ĐH Bách khoa Hà Nội; ThS. Ngô Sỹ Hùng - Trường đại học Kinh tế - Đại học Huế.

NỘI DUNG THI:
 

Môn ĐẠI SỐ

 

 

 

Môn GIẢI TÍCH

 

 

Môn Đại số

 

Bài 1:

a) Chứng minh rằng :

 

$\det \begin{pmatrix}1 &a_1  &a_1(a_1-1)  &a_1(a_1-1)(a_1-2) \\1 &a_2  &a_2(a_2-1)  & a_2(a_2-1)(a_2-2)\\1& a_3 & a_3(a_3-1) &a_3(a_3-1)(a_3-2) \\1& a_4 &a_4(a_4-1)  &a_4(a_4-1)(a_4-2) \end{pmatrix}=\prod_{1 \le i <j \le 4}(a_j-a_i)$

b) Giả thiết $a_1, a_2, a_3, a_4$ là các số nguyên, chứng minh $\prod_{1 \le i <j \le 4} (a_j-a_i)$ chia hết cho 12.

 

Bài 2:  Cho các số thực phân biệt $a_1,a_2, a_3$. Chứng minh rằng với mọi bộ số thực $b_1, b_2, b_3$ tồn tại duy nhất một đa thức $P(x)$ bậc không quá 5 thỏa mãn: $P(a_i)=P'(a_i)=b_i, \; i=1,\; 2,\; 3$ , ở đây $P'$ ký hiệu đạo hàm của đa thức $P$.

 

Bài 3:

a) Ký hiệu $V_4$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực với bậc không quá 4. Định nghĩa ánh xạ $e: V_4 \rightarrow V_4$ như sau: với mỗi đa thức $f \in V_4, \; e(f)=\sum_{i=0}^4 \dfrac{f^{(i)}}{i!}$.

Chứng minh rằng $e$ là ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ $V_4$ vào chính nó.

b) Ký hiệu $V$ là không gian vecto các đa thức hệ số thực. Với mỗi đa thức $f$, đặt $e(f)=\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{f^{(i)}}{i!}$. Chứng minh rằng $e$ là ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ $V$ vào chính nó.

 

Bài 4:

a) Cho ma trận khối $X=\begin{pmatrix}E_m &B \\C&E_n\end{pmatrix}$ được tạo thành từ các ma trận đơn vị $E_m, E_n$ cấp $m,n$ tương ứng và các ma trận $B,C$ với kích thước $m \times n$ và $n \times m$ tương ứng.

Chứng minh rằng $\det(X)=\det(E_n-CB)=\det(E_m-BC)$.

b) Tổng quát, cho ma trận khối $X=\begin{pmatrix}A &B \\ C &D \end{pmatrix}$ , trong đó $A,D$ là các ma trận vuông, $A$ khả ngịch, chứng minh rằng $\det(X)=\det(A) \det(D-CA^{-1}B) $

 

Thí sinh chọn một trong hai câu của bài sau:

 

Bài 5:

a) Cho $P$ là một đa thức bậc $n$ với hệ số hữu tỷ. Giả sử số thực $a$ là nghiệm của $P$ với bội $> \frac{n}{2}$. Chứng minh rằng $a$ là một số hữu tỷ.

b) Trên hình vuông $ABCD$ ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh $X, Y$ (không nhất thiết phân biệt) là một dãy các đỉnh kề nhau $XX_1X_2... X_{n-1}Y$ :  như vậy $X_0=X, .X_1,..., X_{n-1}, X_n=Y$ là các đỉnh của hình vuông và $X_iX_{i+1}$ là cạnh của hình vuông, số $n$ được gọi là độ dài của đường đi. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $x_n, y_n, z_n$ tương ứng là số các đường đi độ dài $n$ giữa: một đỉnh và chính nó, một đỉnh và một đỉnh cố định kề nó, một đỉnh và đỉnh đối diện ( đỉnh đối xứng qua tâm).

Ví dụ $x_0=1, y_0=0, z_0=0, x_1=0, y_1=1, z_1=0, x_2=2, y_2=0, z_2=2 $.

1) Thiết lập công thức truy hồi cho $x_n,y_n,z_n$.

2) Tìm công thức tổng quát của $x_n,y_n,z_n$.