mrwin99

Thưa BQT...bạn cùng lớp với em nick diễn đàn là : datcoi96199.Từ sau hôm bảo trì diễn đàn, bạn bảo em là nick bạn sao không đăng nhập được nữa. Mong BQT xem xét trường hợp này.Em xin cám ơn !

Mình cũng thấy bài ở trận 1 này nhiều toán thủ đã đọc đáp án bên mathlink.... không tiện nói tên nhưng mà còn có nhiều toán thủ làm việc theo nhóm. Cuộc thi chỉ để thử sức và ôn luyện tốt cho các cuộc thi HSG , vào trường chuyên nên trên đây là kiến nghị của mình ... Các bạn làm bài nghiêm túc tí ... vui vẻ với hiệu quả là chính mà không cần gay go như thế đâu.  

Rất cám ơn bạn Hiếu đã trình bày quan điểm về chuyện này

Cái bài này có liển quan ji đến LTE không nhỉ?

MSS là THCS thì không có định lý LTE nên bạn khỏi để tâm đến định lý đó nhá

Bạn ơi! Mình nhìn đề bài thấy a+b=1 thì mình mới ghi dấu "=" chứ. Còn nếu đề bài cho a+b $\leq 1$ thì là dấu $\geq$ đó bạn.

Thế theo bạn nói thì $a^2+b^2+2ab=a+b$ đấy à? Minh đâu có nói cái dấu bằng? Mình nói cái C-S cơ mà

Em không đăng ký tham gia nhưng cũng thử giải mong thầy xem thử

Với

n lẻ $\rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2+1\vdots 2\\ \rightarrow (n^2+1)^{2^{k}}\vdots 2 44n^3+11n^2+10n+2\equiv 1(mod 2) \end{matrix}\right.\rightarrow N^m\vdots 2$

n chẵn $\rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2+1\equiv 1(mod2)\rightarrow (n^2+1)^{2^{k}}\equiv 1(mod2)\\ 44n^3+11n^2+10n+2\vdots 2 \end{matrix}\right.\rightarrow N^m\vdots 2$

Vậy vọi mới $n;m;k$ thì $N$ luôn là số chẵn

Ta xét các TH nhỏ sau:

$m=0$ thì $(n^2+1)^{2^{k}}(44n^3+11n^2+10n+2)=N^{0}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n^2+1=1\\ 44n^3+11n^2+10n+2=1 \end{matrix}\right.$( là vì nguyên dương nên không thể là phân thức được)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=0\\ 44n^3+11n^2+10n+1=0 \end{matrix}\right.$ ( phương trình bậc 3 kia chắc chắn không có nghiệm nguyên không âm)

Vậy vô lý

$m=1$ $\rightarrow (n^2+1)^{2^{k}}.(44n^3+11n^2+10n+2)=N^{m}=N^1=N$ luôn đúng vì $N$ là số có thể thay đổi tuỳ ý để thoả mãn

Việc còn lại là đi chứng minh với $m\geq 2$ thì không tồn tại theo phương pháp quy nạp ( em vướng chỗ này không ra ạ)

Em xin hết

CMR : Mọi số có dạng $ 111...11$ chia hết cho $ 3^{2007}$

Thiếu điều kiện
$111111$ đâu có chia hết =))

cho$a,b,c> o$. c/m:

$\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}$ 

$\sum \sqrt{a^2+b^2}= \frac{\sum \sqrt{(a^2+b^2)(1+1)}}{\sqrt{2}}\geq \frac{a+b+b+c+c+a}{\sqrt{2}}=\frac{2\sum a}{\sqrt{2}}=(a+b+c)\sqrt{2}$

Theo buhiacopsky

Một bài dễ nhá

Tìm MIN của $S=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ với $a+b+c\leq 1(a,b,c> 0)$

Bài này chơi đẹp bằng AM-GM nhé Leonardo Piscalso
Đầu tiên đoán điểm rơi

$a=b=c=\frac{1}{2}\rightarrow \begin{Bmatrix} a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{a\alpha }=\frac{1}{b\alpha }=\frac{9}{\alpha } \end{Bmatrix}\rightarrow \frac{1}{9}=\frac{9}{\alpha }\rightarrow \alpha =81$

Vậy 81 sẽ là hệ số điểm rơi

Đặt $\sum$ là S

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sum \sqrt{82.\sqrt[82]{a^2.(\frac{1}{81a^2})^{81}}}=\sqrt{82}\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{162}}}\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(abc)^{162}}}}]$

Ta có $1\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq 27$

Áp dụng ta có

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sum \sqrt{82.\sqrt[82]{a^2.(\frac{1}{81a^2})^{81}}}=\sqrt{82}\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{162}}}\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{ \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(abc)^{162}}}}]\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{ \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(27)^{162}}}}]$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1/3$
Check lại hộ tôi nhé, tui ngồi nhẩm nên chắc sai số rồi, 

p/s: Tui đây nhớ không? =))

giải phương trình sau:

$\sqrt[3]{\frac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}}-2=0$

Đưa về dạng cơ bản thôi

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}=\frac{x+1}{2x}\rightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}}=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2x}}$

Đặt

$\sqrt[3]{\frac{2x}{x+1}}=a\rightarrow a^3=\frac{2x}{x+1}\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}=\frac{x+1}{2x}\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2x}}$

Phương trình trở thành

$\rightarrow a+\frac{1}{a}-2=0\Leftrightarrow \frac{a^2+1-2a}{a}=0\Leftrightarrow (a-1)^2=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{2x}{x+1}}=1\Leftrightarrow \frac{2x}{x+1}=1\Leftrightarrow 2x=x+1\Leftrightarrow x=1(n)$

Kết thúc =))

Giải phần tổng quát này luôn:

Ta có:

$a^{n}+b^{n}\geq a^{n-1}b+b^{n-1}a$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{b^{n}+c^{n}+bc}\leq \sum \frac{bc}{b^{n-1}c+c^{n-1}b+bc}=\sum \frac{1}{b^{n-2}+c^{n-2}+1}$

Đặt $x^{3}=a^{n-2};y^{3}=b^{n-2};z^{3}=c^{n-2}\Rightarrow xyz=1$

BĐT $\Rightarrow \sum \frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}\leq 1$

Đây là BĐT khá quen thuộc rồi !!

bđt thức quen thuộc đó sử dụng $a^3+b^3>=ab(a+b)$ là ok rồi

p/s: SieuNhanVang, tui là nghiemthanhbach đây ^^!

Giải các hệ phương trình sau: 

a,$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}-2\sqrt{y}=\sqrt{xy} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{3\sqrt{xy}}{x-2y} \end{matrix}\right.$

b, $\left\{\begin{matrix} x^{3}=2x+y \\ y^{3}=2y+x \end{matrix}\right.$

Thử xem nào

a.

Bí

b. $\Leftrightarrow (1)-(2)=x^3-y^3=x-y\Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy)=x-y\Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ x^2+y^2+xy=1 \end{bmatrix}$

xét $x=y$ thì $x^3=2x+x\Leftrightarrow x^3=3x\Leftrightarrow x(x^2+3)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0(n)\\ x^2=-3\Leftrightarrow x=i\sqrt{3} \end{bmatrix}$

Làm ngược lại thì $x=-y$ cũng tương tự

Còn về $x^2+y^2+xy=1$ thì mình chịu

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn tâm I thay đổi luôn qua A và O. Đường tròn tâm I cắt AB và AC tại P và Q

a) Tìm vị trí điểm I để PQ có độ dài nhỏ nhất

b) Gọi H là hình chiếu của O trên PQ. Chứng minh rằng H thuộc 1 đường cố định

c) Gọi K là trực tâm của tam giác OPQ. Chứng minh K thuộc một đường cố định

Bài 6 : Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $x^2-nx+2002=n$ có nghiệm nguyên

Bài 7: Tìm số $n$ nguyên dương thoả mãn $\sqrt{(3+2\sqrt{2})^{n}}+\sqrt{(3-2\sqrt{2})^{n}}=6$

Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 

$$2x^6-2x^3y+y^2=64$$

Bài 9: Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn đẳng thức $2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

Bài 10: Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn $x^2+5y^2+2y-4xy-3=0$

Bài 11 : Tìm nghiêm nguyên phương trình $xy-2y-3=3x-x^2$

$\boxed{1}$ a) Giải phương trình 

$x^3-y^3=3xy+1$

b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 

$x^2+y^2=6(z^2+t^2)$