phatthemkem

$1.$ Cho $X,Y$ là hai tập hợp, $f: X \rightarrow Y,g:  Y \rightarrow X$ là hai ánh xạ, giả sử $g \circ f \circ g \circ f$ toàn ánh và $f \circ g \circ f \circ g$ là đơn ánh. Chứng minh $f,g$ là các song ánh.

$2.$ Cho $X$ là tập hợp và $f: X \rightarrow X$ là ánh xạ sao cho $f \circ f \circ f =f$. Chứng minh rằng $f$ là đơn ánh khi và chỉ khi $f$ là toàn ánh.

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Trung trực các cạnh $AB,AC$ cắt trung tuyến $AM$ tại $D,E$. $DB,CE$ cắt nhau tại $F$. $N,P$ lần lượt là trung điểm $AC,AB$. Chứng minh rằng $A,P,N,F$ thuộc 1 đường tròn.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $D$ trên $AC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BD$ và $F$ là giao điểm của $CE$ với đường thẳng qua $D$ vuông góc $BC.$ Chứng minh rằng $AF,DE,BC$ đồng quy.

Cho $a^{2015}+b^{2015}=2a^{1007}b^{1007}$ với $a,b \in \mathbb{Q}.$ Chứng minh rằng $P= \sqrt{1-ab}$ là một số hữu tỉ.

Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất sao cho với mọi cách tô màu các số $1,2,3,...,n$ bởi một trong hai màu $Đ,T$ (mỗi số chỉ được tô một màu), ta đều tìm được $3$ số khác nhau, có màu giống nhau và tạo thành $3$ số hạng của $CSC.$