Đến nội dung

tienthcsln

tienthcsln

Đăng ký: 02-01-2013
Offline Đăng nhập: 23-05-2018 - 23:35
-----

Trong chủ đề: $\sum \frac{1}{11+a^2} \le \...

24-02-2015 - 18:25

Phải là $\frac{1}{11+a^2} \le \frac{7}{72} - \frac{a}{72}$ chứ.
p/s: có lời giải bằng Chebyshev không nhỉ?  


Trong chủ đề: Cmr có một người không viết thư cho người viết cho mình.

03-10-2014 - 23:33

...

Mình nghĩ phải c/m có người không viết thư cho những ai viết cho họ.


Trong chủ đề: $P(x)=p_n x^n +... +p_1 x +p_0$ bất khả quy

30-08-2014 - 00:33



Thực sự đề ra thế này thì khó quá ,mình chỉ chứng minh đc khi \[b \ge 3\]

 

Mình chép thiếu điều kiện $b \ge 3$ mà không để ý, sr.


Trong chủ đề: Netherlands BxMO/EGMO TST 2014

21-07-2014 - 01:54

Cho $x=1$ ta có: $f(y)+f(-y)=f(1)$, $\forall y \neq 0$ (2)

Lần lượt thay $y=x ,y=-x$ vào (1) ta có:

$xf(x^2)+f(-x)=xf(x)$ (3)

$xf(-x^2)+f(x)=xf(x)$ (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra:

$2xf(x^2)=2f(x)+xf(1)-f(1) \Rightarrow 2(xf(x)+f(x)-f(1))=2f(x)+xf(1)-f(1)$

$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}\left ( k+\frac{k}{x} \right ) $, (với $k=f(1)$)

Thay vào (1) suy ra $k=0$ nên $f(x)=0$

Thử lại, đúng. Vậy  $f(x)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$\{0}

 


Trong chủ đề: Tìm các số $p,a,b$.

22-06-2014 - 10:54

Gọi $S$ là tổng tất cả các phân số tối giản mẫu số $p$ nằm giữa $a$ và $b$.

Ta có:

$S=\frac{\overset{bp-1}{\underset{i=ap+1}{   \sum}i }-(\overset{b-1}{\underset{j=a+1}{   \sum}} j)p}{p}=\frac{(a+b)p(bp-ap-1)-(a+b)p(b-a-1)}{2p}=\frac{(a+b)((b-a)(p-1)-2)}{2}$

Do đó: $S=2011\Leftrightarrow (a+b)((b-a)(p-1)-2)=2.2011$ (*)

+ Nếu $a+b=1\Leftrightarrow a=0;b=1$ thay vào (*) ta được $p=4025$, vô lý.

+ Nếu $a+b=2\Leftrightarrow a=0;b=2\Rightarrow 2(p-2)=2011$, vô lý.

+ Nếu $a+b=2011\Leftrightarrow (2011-2a)(p-1)=4\Rightarrow 2011-2a=1\Rightarrow a=1005; p=5 \Rightarrow b=1006$, thoả mãn.

+ Nếu $a+b=2.2011\Rightarrow 2(2011-a)(p-1)=1$, vô lý.

Vậy $(a;b;p)=(1005;1006;5)$