vutung97

Xét dãy số như sau

$$v_{n+2}=4v_{n+1}-2v_{n};v_{0}=1,v_{1}=3$$

CMR: $$2^{n}<v_{n}$$

Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp (O). Đường phân giác trong của góc BAC cắt (O) tại D. M là trung điểm AD và E đối xứng vs D qua O. (ABM) cắt AC tại F, FM cắt BC tại N. CMR:

$$(\frac{MB}{MC})^{2}=\frac{NB}{NC}$$

1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M thuộc BC sao cho AM là đường đối trung, $\Leftrightarrow $ A,M,S thẳng hàng, vs S là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đỉnh B và C của đường tròn

2.Cho tam giác ABC ( AB # AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn tâm I tiếp xúc vs BD tại D. Khi đó OI vuông góc với AD $\Leftrightarrow $ AD là đường đối trung của tam giác ABC. ( không dùng cực và đối cực nhé )

Nhân tiện cho mình hỏi, thi VMO, các tính chất lien quan đến đường đối trung ta có cần chứng minh lại ko ?

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường chéo cắt nhau tại I. M là giao điểm của 2 đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AOB và COD. J là giao điểm của AD và BC. CMR J,I,M thẳng hàng. 

(Bài này mình cắt từ bài  KHTN 2012 nhưng mà bài giải sử dụng đường đối cực, mình mong mọi người giúp mình giải bài này theo cách khác, như định lí Procard chẳng hạn . )

Bài 1: CMR với mọi số thực dương a,b,c

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$

Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:

$\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{c^2+a^2+4}\geq \frac{2}{3}$

CMR $$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ab\leq 6$$

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:

$\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\geq 1$

CMR: $b^{2}+3\geq 2b(a+c)$

Bài 3 mình chứng mình bằng phản chứng, ko biết có đc không