Idie9xx

Sao lại có dòng màu đỏ thế ạ ? 

Còn chỗ dòng màu tím sẽ xuất hiện hiện tượng "nhảy" hàm ạ, nên em nghĩ chỗ đó cần bổ sung thêm nữa.

Từ cái kết luận của cái dòng trên nó $f(t)=t\Rightarrow f(-t)=-t$

Mà ta đã có $f(f(x))=f(x)$ và $f(x+f(x))=x+f(x)$ (2 cái $f(x),x+f(x)$ có thể trong cùng một loại với $t$) nên $f(-f(x))=-f(x)$ và $f(-x-f(x))=-x-f(x)$ cái này là bước đột phá đó

Còn cái màu tím thì nó chia ra 2 TH $f(x)=x$ hoặc $f(-x)=-f(x)$

Nếu $f(-x)=-f(x)$ thay vào chỗ $(3)$ là $f(x)-f(-x)=2x-x(f(x)+f(-x))$ suy ra được $f(x)=x$

Do cả 2 TH đều suy ra được $f(x)=x$ nên đó sẽ là hàm cần tìm mà "nhảy" hàm là cái gì vậy.

À lời giải đó còn thiếu phải tính $f(1),f(-1)$ vì có đoạn $(t-1)(t+f(-t))=0$ khí đó nếu $t=1$ thì $f(-t)$ không dễ dàng bằng $-t$ được 

Thêm một lời giải khác cho TH2 của bài 4:

Với $f(0)=0$

Cho $x=0$ ta có $f(f(y))=f(y)$

Thay $x,y$ lần lượt bằng $f(x),0$ ta có $f(f(x)+f(f(x))=f(x)+f(f(x))\Rightarrow f(2f(x))=2f(x)$

Thay lần lượt $x,y$ bằng $f(x),x-f(x)$ ta được $f(2f(x))+f(f(x)(x-f(x)))=2f(x)+(x-f(x))f(f(x))$

$\Rightarrow f(f(x)(x-f(x)))=(x-f(x))f(x)$

Thay lần lượt $x,y$ bằng $x-f(x),f(x)$ ta được $f(x)+f(f(x)(x-f(x)))=x+f(x)f(x-f(x))$

$\Rightarrow f(x)+(x-f(x))f(x)=x+f(x)f(x-f(x))\Rightarrow (f(x)-x)(1-f(x))=f(x)f(x-f(x)),(2)$

Cho $x=-1,y=1$ ta có $f(-1)=-1$

Cho $x=1$ ta có $f(1+f(1+y))+f(y)=1+f(1+y)+yf(1),(3)$

Cho $y=-1$ vào $(3)$ ta có $f(1)+f(-1)=1-f(1)\Rightarrow f(1)=1$

Nên $(3)\Rightarrow f(x)-x=f(1+f(x+1))-(1+f(x+1)),(4)$

Thay $x$ bằng $1+f(x+1)$ vào $(2)$ ta có $(f(1+f(x+1))-(1+f(x+1)))(1-f(1+f(x+1)))=f(1+f(x+1))f(f(1+f(x+1))-(1+f(x+1)))$

$\Rightarrow (f(x)-x)(1-f(1+f(x+1)))=f(1+f(x+1))f(x-f(x)),(5)$

Lấy $(2)-(5)$ ta có $(f(x)-x)(f(1+f(x+1))-f(x))=(f(x)-f(1+f(x+1)))f(x-f(x))$

$\Rightarrow (f(x-f(x))+(x-f(x)))(f(1+f(x+1))-f(x))=0\Rightarrow f(x-f(x))=-(x-f(x))$ hoặc $f(1+f(x+1))=f(x),(1)$

Nếu $f(x-f(x))=-(x-f(x))$ thay vào $(2)\Rightarrow f(x)-x=0$

Nếu $f(1+f(x+1))=f(x)$ thay vào $(4)\Rightarrow x=1+f(x+1)\Rightarrow f(x+1)=x-1$

Thay $x,y$ lần lượt là $x+1,-x-1$ ta có $f(x+1)+f(-(x+1)^2)=x+1-(x+1)f(x+1)\Rightarrow f(-(x+1)^2)=3-x^2$ (không thuộc các dạng ở $(1)$)

Vậy ở TH này ta thu được hàm $f(x)=x$ thỏa mãn

 

IMO 2015

Ngày 11-07-2015

Thời gian bắt đầu: 9am

Thời gian làm bài: 4 tiếng

 

Bài 4. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ với mọi số thực $x,y$.

 

Cho $x=y=0$ ta có $f(f(0))=0$

Cho $x=0,y=f(0)$ ta có $f(f(f(0)))+f(0)=f(f(0))+(f(0))^2\Rightarrow f(0)(f(0)-2)=0$

$\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

   -Với TH $f(0)=2$

Thay $x,y$ lần lượt bằng $x-1,1$ ta được $f(x+f(x)-1)=x+f(x)-1$

Đặt $g(x)=x+f(x)-1\Rightarrow f(g(x))=g(x)\Rightarrow f(f(g(x)))=f(g(x))$

Thay $x,y$ lần lượt bằng $0,g(x)$ ta được $f(f(g(x)))+2=f(g(x))+2g(x)$

$\Rightarrow g(x)=1\Rightarrow x+f(x)-1=1\Rightarrow f(x)=2-x$

   -Với TH $f(0)=0$

Cho $x=0$ ta có $f(f(y))=f(y)$

Cho $y=0$ ta có $f(f(x)+x)=f(x)+x$

Cho $y=-x$ ta có $f(x)+f(-x^2)=x(1-f(x))$ (1)

Thay $x$ bằng $-x$ ở $(1)$ ta có $f(-x)+f(-x^2)=-x(1-f(-x))$ (2)

Lấy $(1)-(2)$ ta có $f(x)-f(-x)=2x-x(f(x)+f(-x)$ (3)

Giả sử tồn tại một vài số $t$ thỏa $f(t)=t$ thì theo $(3)$ suy ra được $f(-t)=-t$ 

Vậy ta sẽ có $f(-f(x))=-f(x),f(-x-f(x))=-x-f(x)$

Thay $x,y$ lần lượt là $-x,x-f(x)$ ta được $f(-x+f(-f(x)))+f(x(f(x)-x))=-x+f(-f(x))+(x-f(x))f(-x)$

$\Rightarrow f(x(f(x)-x))=(x-f(x))f(-x)$ (4)

Thay $x,y$ lần lượt bằng $x,f(x)-x$ ta được $f(x+f(f(x)))+f(x(f(x)-x))=x+f(f(x))+(f(x)-x)f(x)$

$\Rightarrow f(x(f(x)-x))=(f(x)-x)f(x)$ (5)

Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra $(x-f(x))f(-x)=(f(x)-x)f(x)$

$\Rightarrow f(x)-x=0$ hoặc $f(x)=-f(-x)$

Nếu $f(x)=-f(-x)$ thay vào $(3)$ ta được $f(x)=x$

Vậy kết luận chung có 2 hàm thỏa đề $f(x)=x$ và $f(x)=2-x$

PS: Quên không thử lại

Chứng minh toàn ánh: $\forall a \in \mathbb{Q}$, chọn $x= \frac a2$ thì $f(x+f(x))=a$. Do đó $f$ toàn ánh.

 

Spoiler

Như thế có đúng không anh ?

Như vậy thì chỉ có $f$ toàn ánh chứ nếu đặt $g(x)=x+f(x)$ thì $g(x)$ không toàn ánh. Toàn ánh với hàm $f$ ở đây là với mỗi số $y$ ( thuộc tập giá trị của nó) thì luôn tồn tại một số $x$ (thuộc tập xác định) thỏa $f(x)=y$. Ở đây với mỗi số $a$ thì tồn tại $x+f(x)$ thỏa $f(x+f(x))=a$ thì $f$ toàn ánh chứ không phải cái $x+f(x)$. Mọi người hay nhầm lẫn mấy cái này lắm 

Lời giải. Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.

Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.

Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f(2y)=2f \left( f(y) \right)$.

Từ đây ta suy ra $(\ref{pt1}$) tương đương với $$f \left( x+f(x)+2y \right)= f \left( x+f(x) \right)+ f(2y), \; \forall x,y \in \mathbb{Q}$$

Do đó $f(x)=ax$. Thay vào ta tìm được $a=1$.

Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{Q}$.

Nếu chứng minh được $x+f(x)$ toàn ánh thì mới được dùng hàm cosi nhé

Vừa mới nghĩ ra hướng giải ở topic kia reset lại thì bị ẩn đi mất