Giả sử $a\geq b\geq c$
Ta có: $b^{2}+c^{2}\leq (b+\frac{c}{2})^{2}\Leftrightarrow 0\leq \frac{c^{2}}{4}+c(b-c)$ ( luôn đúng)
$a^{2}+c^{2}\leq (a+\frac{c}{2})^{2}$
$a^{2}+b^{2}\leq (a+\frac{c}{2})^{2}+(b+\frac{c}{2})^{2}$
Đặt $(a+\frac{c}{2})=x;(b+\frac{c}{2})=y$
Như vậy ta cần chứng minh $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$
AM-GM
$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\doteq \frac{xy}{2}.2xy(x^{2}+y^{2})\leq \frac{xy}{2}(\frac{2xy+(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}$$=2xy\leq 2(\frac{x+y}{2})^{2}=2$
Dấu = xảy ra khi a=b=1; c=0 và các hoán vị