Đến nội dung

vnmath98

vnmath98

Đăng ký: 03-02-2013
Offline Đăng nhập: 01-09-2013 - 19:45
****-

Trong chủ đề: cho các số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=2

20-08-2013 - 17:59

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có: $b^{2}+c^{2}\leq (b+\frac{c}{2})^{2}\Leftrightarrow 0\leq \frac{c^{2}}{4}+c(b-c)$ ( luôn đúng)

$a^{2}+c^{2}\leq (a+\frac{c}{2})^{2}$

$a^{2}+b^{2}\leq (a+\frac{c}{2})^{2}+(b+\frac{c}{2})^{2}$

Đặt $(a+\frac{c}{2})=x;(b+\frac{c}{2})=y$

Như vậy ta cần chứng minh $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

AM-GM

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\doteq \frac{xy}{2}.2xy(x^{2}+y^{2})\leq \frac{xy}{2}(\frac{2xy+(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}$$=2xy\leq 2(\frac{x+y}{2})^{2}=2$

Dấu = xảy ra khi a=b=1; c=0 và các hoán vị


Trong chủ đề: $\sum \frac{a-b}{a+2b+3c}\geq 0...

16-08-2013 - 18:00

Cho a,b,c,d >0.CMR

$\sum \frac{a-b}{a+2b+3c}\geq 0$

$\sum \frac{a-b}{a+2b+3c}\geq 0\Rightarrow \sum \frac{2(a-b)}{a+2b+3c}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{a-b}{a+2b+3c}+3\geq 3$

$\sum \frac{3(a+c)}{a+2b+3c}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{(a+c)^{2}}{(a+2b+3c)(a+c)}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz ta có:

$\sum \frac{(a+c)^{2}}{(a+2b+3c)(a+c)}\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{\sum (a+2b+3c)(a+c)}$

ta lại có $\sum (a+2b+3c)(a+c)\doteq 4(a+b+c)^{2}$

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.


Trong chủ đề: $Max$ $a^2b+b^2c+c^2a$

09-04-2013 - 17:54

Xem ở đây

Nhưng mà điều kiện khác mà.


Trong chủ đề: a+b+c=3

09-04-2013 - 16:42

Dùng AM-GM

$\sum a^4+\sum a^2\geq \sum 2a^3$

Như vậy ta cần chứng minh $\sum a^3\geq \sum a^2$

$\sum a^3+\sum a\geq \sum 2a^2$

Như vậy ta cần chứng minh

$\sum a^2\geq \sum a$

$\sum (a^2+1)\geq \sum 2a=6$

$\Rightarrow$đpcm


Trong chủ đề: $Max$$\sum a^{2012}(2013-a^{2})...

08-04-2013 - 17:16

Làm sao biết 2013-a2 là số dương

Vì nếu nó âm thì ta không tìm được giá trị lớn nhất.