nguyenthehoan

             Problem. Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố cho trước. Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện.

i) $a_k=k, \forall k=0,1,...,p-1$

ii) $a_n=a_{n-1}+a_{n-p},\forall n\geq p$

Tìm số dư trong phép chia $a_{p^{2014}+1}$ cho $p$.

Mình vừa nghĩ ra bài toán khá thú vị!!!

 

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $B,C$ cố định, còn $A$ di chuyển trên đường tròn.Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $O$ cắt $AB,AC$ tại $X,Y$ thỏa mãn $OX=OY$. Đường tròn đường kính $BY$ cắt $(O)$ tại $P$ và cắt đường tròn Ole của tam giác $ABC$ tại $Q$.

a) Chứng minh rằng khi $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$, thì $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng khi $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$, thì đường thẳng kẻ qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $AB,AC$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Gọi $N$ là điểm Nagel của tam giác $ABC$. Qua $K$ vẽ các đường thẳng song song với $NB,NC$ cắt $AC,AB$ theo thứ tự tại $E,F$. Gọi $D$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$, và $L$ là giao điểm của $AN$ với $BC$. Qua $K$ vẽ đường thẳng song song với $DL$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $BC$ tại $P$.

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ tiếp xúc với đường tròn $(K)$

====================================================

                                                   Đề kiểm tra đội tuyển VMO Khoa học Tự nhiên 2014

Cho $2n$ điểm trên đường tròn sao cho chúng chia đường tròn thành $2n$ cung nhỏ bằng nhau.Biết rằng với mỗi điểm xanh, đều là trung điểm của một cung nối hai điểm đỏ.Chứng minh rằng với mỗi điểm đỏ, ta cũng có tính chất như vậy.