anhtukhon1

Cho tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2};BC=6;AC=2\sqrt{5}$. Tìm M thuộc tam giác $ABC$ sao cho $MA+2MB+\sqrt{3}MC$ MIN và tìm giá trí min này

Dãy số:

$\frac{1}{a_{n+1}}=1-\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}; \frac{1}{a_{n}}=u_{n}\Rightarrow u_{n+1}=1+u_{n}^{2}-u_{n}\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{1}{u_{n}-1}-\frac{1}{u_{n}}\Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=\frac{1}{u_{n}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}\Rightarrow b_{n}=\frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}$

Dễ chứng minh $a_n$ bị giảm và chặn bởi 0 theo câu a nên $\lim u_{n}=$ vô cùng nên lim $b_n$=1

có ai làm câu bất đẳng thức và hình không gian không nhỉ  

Xét $x=0$ thỏa mãn.

Xét $x$ khác 0 ta có

$cosx=1-x^{2}\Rightarrow x^{2}+cosx-1=0\Rightarrow \frac{cosx}{x}+x-\frac{1}{x}=y=0;y'=1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{-x.sinx-cosx.1}{x^{2}}=\frac{x^{2}+1-xsinx-cosx}{x^{2}}; (xsinx+cosx)^{2}\leq (x^{2}+1)\Rightarrow y'\geq \frac{x^{2}+1-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}\geq 0$

Vậy hàm số đồng biến nên hàm số có nghiệm duy nhất là $x=0$

Hệ phương trình

$x^{2}+3y^{2}+2xy-6x-2y+3=0\Rightarrow x^{2}+x(2y-6)+3y^{2}-2y+3=0;\Delta =-8y^{2}-16y+24\geq 0\Rightarrow y\epsilon [-3;1]$(1)

$x^{2}-2x\sqrt{y+3}+y+3=2y-2\Rightarrow (x-\sqrt{y+3})^{2}=2y-2\Rightarrow y\geq 1$(2)

Từ (1) và (2) nên $y=1$ thay vào tìm ra $x=2$

Cho $ xy + yz + xz + x + y + z =18 $

$CMR$ : $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 12$

$(\sum xy)+(\sum x)=18\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sqrt{3}\sqrt{\sum x^{2}}\geq 18\Rightarrow a^{2}+\sqrt{3}a-18\geq 0\Rightarrow a\geq 2\sqrt{3}\Rightarrow a^{2}\geq 12\Rightarrow \Delta$ 

Cho tam giác ABC đều. Điểm P bất kì nằm trong tam giác ABC. Có phải đúng khi nói:

$|\widehat{PAB}-\widehat{PAC}|\geq |\widehat{PBC}-\widehat{PCB}|$.

(HOMC 2017)

đặt VT bdt cần cm là $S$

xét $P=a(b^2+2c)+b(c^2+2a)+c(a^2+2b) \ge 9$

theo $Holder$ thì $S^2P \ge (a+b+c)^3 \ge 27 \rightarrow S \ge \sqrt{3}$

dấu "=" tại $(a;b;c)(1;1;1)$

Chỗ màu đỏ sai rồi bạn ạ! P lớn hơn hoặc = S vẫn có thể nhỏ hơn hoặc =!

Tìm tất cả số hữu tỉ a,b,c dương sao cho $a+\frac{1}{b},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$ nguyên dương

Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:

$ \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = 1 $

Tại sao không tách ra luôn đi :V

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$

Vì vai trò của $x,y,z$ như nhau giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}\leq \frac{1}{y^{2}}\leq \frac{1}{z^{2}}\Rightarrow 1\geq \frac{3}{x^{2}}\Rightarrow x^{2}\leq 3\Rightarrow x=1(wrong)$

Vậy vô nghiệm

Em đứng thứ 194 bảng A chắc không biết có được huy chương đồng không năm trước lấy 211 đứa :3

(Đóng góp 1 bài nhé)

Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn $3a + 4b = 5$. Tìm GTNN của $M=5\left | a \right |-3\left | b \right |$

$3a+4b=5\Rightarrow 3(a-3)+4(b+1)=0\Rightarrow b+1\vdots 3\Rightarrow b+1=3k\Rightarrow b=3k-1\Rightarrow 3a+12k-4-5=0\Leftrightarrow a+4k-3=0\Leftrightarrow a=3-4k\Rightarrow M=5|3-4k|-3|3k-1|;*k\geq 1\Rightarrow M=5.(4k-3)-3.(3k-1)=11k-12\geq -1;*k\leq -1\Rightarrow M=5.(3-4k)-3.(1-3k)=15-20k-3+9k=12-11k\geq 12+11=23;*k=0\Rightarrow M=5.3-3=12\Rightarrow Min M=-1\Leftrightarrow k=1\Rightarrow b=2;a=-1$

1.2

$x^{2}+xy=2\Leftrightarrow x+y=\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=x+\frac{2}{\frac{2}{x}}=2x\Leftrightarrow y+x=2x.xy\Leftrightarrow 2x^{2}y-x=y\Leftrightarrow y(2x^{2}-1)=x\Rightarrow y=\frac{x}{2x^{2}-1}\Rightarrow x^{2}+x.\frac{x}{2x^{2}-1}-2=0\Rightarrow bac4:D$

7. $P=\sum \frac{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)}}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}=\sum a+b=2(a+b+c);(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)=3\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3}."="\Leftrightarrow ...$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}$(BĐT Nesbit)

$\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c\Rightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq \Rightarrow \sum a^{2014}(\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq 0\Rightarrow dpcm\Rightarrow \bigstar$

13001070_10208636162278398_2506054039610135163_n.jpg

Sao nhanh vậy mình còn vừa về @@!

$\frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x^{2}\Leftrightarrow \frac{4}{3-4x^{2}}\geq 4x\Leftrightarrow 1\geq 3x-4x^{3}\Leftrightarrow 4x^{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 3x(cosi)\Rightarrow \frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x^{2}\Rightarrow P\geq 4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 4(xy+yz+zx)=3$

p/s: Mình còn câu 4/2/b với bài tổ hợp làm sai