Do tập $[0,1]$ compact nên tồn tại một dãy con $(x_{n_k})$ của $(x_n)$ hội tụ về một điểm trong $[0,1]$ (lưu ý giới hạn này có thể là hai đầu mút, do đó nằm ngoài đoạn $(0,1)$ ban đầu). Gọi $a = \lim_{n_k \to \infty} x_{n_k}$, khi đó
$$\left |y_{n_k} - a \right| \leq \left |x_{n_k} - y_{n_k} \right| + \left |a - x_{n_k} \right|$$
và theo định nghĩa, khi $n_k \to \infty$ ta có $A = \lim_{n_k \to \infty} y_{n_k}$.
- DOTOANNANG và minhquang47 thích