# bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư

### #733472Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi trong Hôm qua, 04:00

Tiếc là chỉ có ENS Paris (Ulm) là có mở cho sinh viên quốc tế thi, nếu các ENS khác cũng có thì nhiều cơ hội hơn.

Ở các nơi khác thì apply trực tiếp luôn anh ạ, ví dụ như ENS Lyon.

### #733470Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi trong 18-05-2022 - 23:08

Hôm nay ghé Institut Fourier mượn mấy cuốn sách, thì nhớ ra là ở đây có ông Vincent Lafforgue, là em ruột của Laurent Lafforgue và cũng là một nhà Toán học rất nổi tiếng.

Ông em tài năng không hề kém ông anh (thậm chí có thể còn hơn). Trước khi làm nghiên cứu thì thành tích của cả hai anh em hồi còn đi học đều thuộc dạng bá đạo:

- Laurent Lafforgue được 2 HCB IMO 1984-1985 (hai năm này chúng ta có lần lượt GS. Đàm Thanh Sơn và GS. Nguyễn Tiến Dũng được HCV), đỗ thủ khoa đầu vào École Normale Supérieure năm 1986.

- Vincent Lafforgue được 2 HCV IMO 1990-1991 với số điểm tuyệt đối 42/42 cả hai năm, và là người duy nhất đạt được thành tích này cho đội tuyển Pháp cho tới nay (lưu ý thêm là cả hai năm này Việt Nam đều không có HCV). Ông đỗ thủ khoa đầu vào cả hai trường École Normale Supérieure và École Polytechnique năm 1992. Cùng năm đó có Cédric Villani cũng đỗ vào ENS và xếp hạng 4.

Lúc em đọc đến đây đã định còm là đỗ thủ khoa ENS Paris thì đỉnh hơn HCV IMO ấy chứ nhưng thấy ở dưới anh cũng nói vậy. Năm 2019 em có may mắn vào vòng thi loại trực tiếp ở ENS Paris, nói chung đề thi rất căng thẳng, dù trước đó đã ôn đề tất cả các năm trước và biết nó là kỳ thi đầu vào khó nhất thế giới nhưng vào vẫn cứ tịt, cả toán lẫn vật lý, chỉ may gỡ gạc được phần trình bày paper chuẩn bị trước. Đề thi toán năm đó là chứng minh $\pi$ và $e$ là số siêu việt, đề vật lý (môn minor thì mỗi người một đề) của em thì là giải một hệ phương trình Maxwell, bảo thằng trông thi "thôi mày cho tao nghỉ thi chứ biết mẹ gì vật lý đâu". Lúc ra về buồn rầu ủ rũ gặp một bạn nữ ở trường đó, quen ở ký túc xá, nó bảo "mày yên tâm, không thằng nào không khóc khi thi ở Pháp đâu, lại còn là cái trường này." Tới lúc phát kết quả, có hai ông đỗ môn toán, cả hai là HCV IMO từ Trung Quốc.

Mà cái thi này chắc khác của mấy ông kia. Một cái là chọn sinh viên quốc tế còn một cái là thi trong nước nên có khi còn khó hơn.

### #733280Tại sao tìm nghiệm hữu tỉ lại khó?

Gửi bởi trong 17-04-2022 - 18:08

Hôm qua đọc được cái blog này nên thả vào đây cho mọi người, level rất phổ thông và cũng rất hay vì đã bàn được cái local-to-global principle và nhóm Brauer. Một người mù tịt lý thuyết số nuhw mình đọc cũng hiểu.

### #733268Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 16-04-2022 - 06:55

Thực ra nếu anh nói vô ích thì nhiều thứ vô ích mà, còn chuyện người P-Đ kể cho vui miệng tý thôi. Ngay cả việc làm nhiều hội thảo hội nghị cũng có thể nói là không có ích cho nghiên cứu chứ đừng nói viết la cà trên mạng.

Em viết một là vì khi rảnh hai là vì trước đây thi thoảng em cũng đi đọc trên mạng thấy vài chỗ có ích nên mình viết mà ai đọc được một vài chi tiết thấy hay hay đã tốt rồi. Đi hội nghị, hội thảo cũng thế.

Em cũng biết một ông ở khoa làm về rigid space và có dùng vài cái của Ayoub nhưng cụ thể thế nào không rõ. Vấn đề còn tùy thuộc vào $2$-hàm tử mà mình dùng vì có một số tính chất cái này có cái kia không.

### #733266Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 16-04-2022 - 02:51

Anh cũng cần 4 operations (thực ra cái anh đã làm có một bước xây dựng left adjoint cho hàm tử $Lf^*$), nhưng thực ra chả tính đối đồng điều bao giờ. Tuy nhiên, mình cứ đăng lên thôi, coi như xây dựng một môi trường văn hoá cho diễn đàn. Như anh thấy mọi người ở Pháp hay nói toán học còn có culture nữa (anh bị nói vậy khi anh nói nhiều công việc ở khoa thừa thãi không có ích cho nghiên cứu =)) ). Ví dụ như ở chỗ anh mọi người rất thích la cà với nhau, mặc dù anh cũng chưa cảm được lắm.

Thế là anh không bắt nhịp bọn này rồi, bọn Pháp cứ phải chém gió giữa giờ, giờ học, giờ ăn, cả lúc đi về. Hồi năm ba em học lý thuyết Galois ở trường, thầy (you know who) bảo lớp em học chả khác gì bọn Pháp, đại khái là hay đi muộn, tài tử, lại còn hay chém gió. Không như bọn Đức, làm cái gì chuẩn chỉ, đúng giờ, trưa nghỉ còn không hút thuốc uống cafe. Chả biết có phải em bị ngấm cái thói đấy vào máu không, nhưng giờ làm gì ngày cũng phải hai cốc cafe chém gió, ngắm trời đất chém gió toán (nếu có bạn) xong mới làm việc được.

### #733262Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 14-04-2022 - 18:56

Em luận án tốt nghiệp là làm về giả thuyết Weil về số Tawagawa đó anh https://toanqpham.gi...io/Tamagawa.pdf

Cho xin template phát Toàn ơi .

### #733255Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 14-04-2022 - 16:32

Tớ cũng muốn học về six operations (không nhất thiết là $l$-adic, topological version tớ mà hiểu cũng là tốt rồi, cũng không biết có khác nhau lắm không?) vì cái này có áp dụng cho lý thuyết biểu diễn được (nên họ mới gọi geometric representation theory). Theo cảm tưởng thì cái này như một công thức, không nhất thiết phải biết mọi chi tiết, chỉ cần biết đủ dùng là được rồi?

Hôm nọ tớ có viết một file(đọc kết hợp với bài motivic integration hôm qua trên diễn đàn của tớ sẽ trọn bộ hơn) trong đó có giới thiệu sơ qua về six operations. Thực ra tất cả six operations đều có thể thiết lập chung từ một framework phát triển bởi Joseph Ayoub (xem định lý 3.2 trong file tớ gửi). Ý tưởng chung là giờ người ta làm trên các phạm trù dẫn xuất (derived category) thay vì làm trên phạm trù thông thường, vấn đề là lấy dẫn xuất như thế nào:

• Trong topology thì lấy dẫn xuất trên phạm trù bó các nhóm abel.
• Trong $l$-adic thì lấy dẫn xuất trên phạm trù các bó $l$-adic.
• Trong lý thuyết đồng luân motivic thì lấy phạm trù đồng luân trên một phạm trù tiền bó nào đó.

Six operations thực chất gọi là six operations formalism (hình thức luận sáu toán tử), nên không cần đi quá sâu vào chi tiết đâu. Ban đầu nó được phát triển vì người ta nhận thấy nhiều tính toán chỉ cần manipulate bằng six operations là được rồi, còn nguồn gốc thì dĩ nhiên đa số tới từ topology.

### #733243Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 14-04-2022 - 01:20

Giả thuyết Weil này là giả thuyết Weil về các số Tamagwa chú ơi, còn anh đoán cái Bằng bảo là giả thuyết Weil về  hàm zeta. Nhưng mà trong cuốn sách kia lại có một chương về đối đồng điều $l$-adic nên có liên quan tới cái chú đang làm rồi đấy. =))

Em đọc $l$-adic để học về six operations thôi, thực ra mỗi khi học em sẽ note lại nên không biết anh hay mọi người có hứng thú em sẽ lập một topic về $l$-adic cohomology xong sẽ note lại nội dung mình học hàng tuần.

### #733241Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 14-04-2022 - 00:51

Toàn định theo Langlands thì chắc cũng có kiến thức về nhóm đại số đúng không ? Anh đang định đọc cuốn sách về giả thuyết Weil trên trường hàm của Lurie :https://www.math.ias...wa-abridged.pdf.

Không biết giả thuyết Weil trên trường hàm khác gì giả thuyết Weil bình thường không nhỉ? Vì dạo này em cũng đang đọc $l$-adic cohomology và giả thuyết Weil.

Từ giờ Toàn kiểm duyệt bài viết bài nào tệ thì viết tus cho tớ với anh Nxb biết   vì đúng tớ toàn kiểu introductory nên không hiểu thì có vấn đề thật.

### #733238Motivic integration: an introduction

Gửi bởi trong 13-04-2022 - 19:44

Motivic integration: general definition (without smoothness)

Let $X$ be an algebraic $k$-variety of pure dimension $d$, we want to extend our measure to a broader generality (without smoothness conditions) so that we can integrate simple functions $\alpha: J_{\infty}(X) \longrightarrow \mathbb{Z}$ whose fibers are well-understood.

Definition 29. Let $C$ be a constructible subset of $X$ such that $\pi_n^{-1}(B_n) = C$ for some constructible subset of $J_n(X)$. If furthermore:

• $\pi_n(C) = B_n$,
• $\pi_m(C) \subset J_{m}(X)$ is constructible for any $m \geq n$,
• The truncation morphisms $\pi_{m+1,m}: \pi_{m+1}(C) \longrightarrow \pi_m(C)$ is a piecewise trivial fibration with fiber $\mathbb{A}^d$,

then we say that $C$ is stable at level $n$. We say that $C$ is stable if it is stable at some level. When $X$ is smooth, all cylinders are stable.

Definition 30. Let $C$ be a stable cylinder at level $n$. We set $$\widetilde{\mu}(C) = \frac{[\pi_n(C)]}{\mathbb{L}^{(n+1)d}} \in \mathscr{M}_k$$ The stability condition ensures that this definition is independent of the choice of $n$. By proposition 8, when $X$ is smooth, all cylinder subsets are stable. In particular, $J_{\infty}(X)$ is a stable cylinder, and:
\begin{equation*}
\widetilde{\mu}(J_{\infty}(X)) = \frac{[X]}{\mathbb{L}^{d}}.
\end{equation*} Theorem 31. There exists an algebra $\mathbf{B}_X$ . of subsets of $J_{\infty}(X)$, which contains all stable cylinders nd a unique map $\mu: \mathbf{B}_X \longrightarrow \hat{\mathscr{M}_k}$ satisfying the following conditions:

• If $C$ is a stable cylinder set, then $\mu(C) = \widetilde{\mu}(C)$.
• If $C \in \mathbf{B}_X$ is contained in $J_{\infty}(Z)$ where $Z$ is a closed subvariety of $X$ with $\dim(Z) < \dim(X)$, then $\mu(C) =0$.
• Let $(C_i)_{i \in \mathbb{N}}$ be a sequence in $\mathbf{B}_X$ such that $C_i$'s are mutually disjoint and $C = \bigsqcup C_i$ belongs to $\mathbf{B}_X$, then $\sum \mu(C_i)$ converges to $\mu(C)$ in $\hat{\mathscr{M}}_k$.
• If $C, D$ are in $\mathbf{B}_X$ with $C \subset D$, and if $\mu(D)$ belongs to the closure $\hat{F}_m$ of $F_m$ in $\hat{\mathscr{M}_k}$, then $\mu(C) \in \hat{F}_m$.

Remark. Elements in $\mathbf{B}_X$ are called semi-algebraic sets, but we do not stress to the precise definition here.

Definition 32. Let $C$ be in $\mathbf{B}_X$ and $\alpha: C \longrightarrow \mathbb{Z} \cup \left \{ \infty \right \}$ a function such that $\alpha^{-1}(s) \in \mathbf{B}_X$ for any $s \in \mathbb{Z} \cup \left \{ \infty \right \}$ and $\mu(\alpha^{-1}(\infty)) = 0$, we set:
\begin{equation*}
\int_C \mathbb{L}^{-\alpha}d\mu  = \sum_{s\in \mathbb{Z}} \mu(C \cap \alpha^{-1}(s)) \mathbb{L}^{-s},
\end{equation*} in $\hat{\mathscr{M}}_k$, whenever the right hand side converges in $\hat{\mathscr{M}}_k$, in which case we say $\mathbb{L}^{-\alpha}$ is integrable on $C$.

Theorem 33. (Change of varibles) Let $X, Y$ be algebraic $k$-varieties of pure dimension $d$ and $h : Y \longrightarrow X$ be a proper birational morphism. Let assume $Y$ to be smooth. Let $C \in \mathbf{B}_X$ and $\alpha: J_{\infty}(X) \longrightarrow \mathbb{N}$ be a simple function. Then
\begin{equation*}
\int_C \mathbb{L}^{-\alpha}d\mu = \int_{h^{-1}(C)} \mathbb{L}^{-\alpha \circ h - \mathrm{ord}  h^*(\Omega^d_X)} d\mu.
\end{equation*}
Now we can present a rough proof of Bartyrev's theorem. The following diagram illustrates the construction of $\mathscr{M}_k$:

and it motivates the following proof.

Theorem 34. (Bartyrev) Let $X_1,X_2$ be two birational smooth Calabi-Yau varieties, then they have the same Hodge numbers.

Proof. Let $K$ denote the canonical divisor. We resolve the birational map to a Hironaka hut:

In the change of variables formula, we let $\alpha: J_{\infty}(X_1) \to \mathbb{Z} \cup \left \{ \infty \right \}$ be the zero map. Then

$$\int_{J_{\infty}(X_1)} \mathbb{L}^{-\alpha} d\mu = \mu(F^{-1}(0)) = \frac{[\pi(J_{\infty}(X_1)]}{\mathbb{L}^{(0+1)n}} = \frac{[X_1]}{\mathbb{L}^n},$$ and analogously, let $\alpha': J_{\infty}(X_2) \to \mathbb{Z} \cup \left \{ \infty \right \}.$ be the zero map, we see that $\alpha \circ (\pi_1)_{\infty} = \alpha' \circ (\pi_2)_{\infty}$, both equal the zero map. Applying the change of varibles,

$$\int_{J_{\infty}(Y)} \mathbb{L}^{-\alpha \circ (\pi_1)_{\infty} - \mathrm{ord}\pi_1^*K_{Y/X_1}}d\mu = \int_{J_{\infty}(X_2)} \mathbb{L}^{-\alpha'}d\mu = \frac{[X_2]}{\mathbb{L}^n},$$ which implies that $[X_1]=[X_2]$ in $\hat{\mathscr{M}}_{\mathbb{C}}$, we apply the Hodge polynomial to deduce the theorem.

Example 35. Let $D = \varnothing, X' = \mathrm{Bl}_Y(X)$ be the blow of $X$ along the smooth center $Y$ of codimension $c$ in $X$. The relative canonical divisor is $K_{X'/X}=(c-1)E$ where $E$ is the exceptional divisor of the blowup. Using the previous proposition, we have:
\begin{align*}
\int_{J_{\infty}(X')} \mathbb{L}^{-\mathrm{ord}_{K_{X'/X}}} d\mu_{X'} & = \int_{J_{\infty}(X')} \mathbb{L}^{-\mathrm{ord}_{(c-1)E}} d\mu_{X'} \\
& = [X' \setminus E] + \frac{[E]}{[\mathbb{P}^c]} \\
& = [X \setminus Y ] + [Y] = [X].
\end{align*}

Thanks to the change of variables formula, we deduce the rationality of the motivic zeta function and a proof of Bartyrev's theorem.

Theorem 36. Let $X$ be an algebraic $k$-variety and let $A$ be a semi-algebraic subset ($\in \mathbf{B}_X$) of $J_{\infty}(X)$. The power series:
\begin{equation*}
P_C(T) =  \sum_{n=0}^{\infty}[\pi_n(A)]T^n,
\end{equation*} considered as an element of $\mathscr{M}_k[[T]]$, is rational and belongs to $\mathscr{M}_k[T]_{loc}$.

Motivic zeta function and motivic nearby cycles

Let $k$ be a field of characteristic zero. Let us assume that $X$ is a smooth quasi-projective $k$-scheme of pure dimension $d$ and $f: X \longrightarrow \mathbb{A}_k^1$ is a flat morphism of $k$-schemes. Consider the diagram

where $i$ is the zero section of the structural morphism of the affine line and $j$ its complement. We identify $f$ with the image of $t$ under the ring morphism $k[t] \longrightarrow \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$.

Definition 37. The motivic zeta function is defined as follows
\begin{equation*}
Z_f(T) = \sum_{n \geq 1} Z^1_n T^n \in \mathscr{M}_{X_{\sigma}}[[T]],
\end{equation*} where $Z^1_n = \mathbb{L}^{-nd}[\left \{\varphi \in J_n(X) \mid f \circ \varphi = t^n + O(t^{n+1}) \right \}] = \mathbb{L}^{-nd}[\mathscr{X}^1_n] \in \mathscr{M}_{X_{\sigma}}$.

Remark. The expression of $\mathscr{X}^1_n$ requires $X$ to be of pure dimension $d$. Otherwise, one has to work connected components by connected components. We also know from theorem 36 that $Z_f(T) \in \mathscr{M}_{X_{\sigma}}[T]_{loc}$.

Let $h: X' \longrightarrow X$ be an embedded resolution of the singularities of $(X,X_{\sigma})$. By this, we mean a proper morphism $h: Y \longrightarrow X$ with $X'$ smooth such that the restriction
\begin{equation*}
h: X' \setminus h^{-1}(X_{\sigma}) \longrightarrow X \setminus X_{\sigma}
\end{equation*} is an isomorphism and $h^{-1}(X_{\sigma}) = \sum_{i \in I} m_i D_i$ has only simple normal crossings as a subvariety of $X'$. For $\varnothing \neq J \subset I$, we define $D_J, D_J^{\circ}$ as in the previous post. We denote by $\rho_J: \widetilde{D}^{\circ}_J \longrightarrow D_J^{\circ}$ the étale cover of $D^{\circ}_J$, locally defined as follows. For any $x \in D_J^{\circ}$, there exists an affine open neighborhood $U$ of $x$ in $X$ (for the Zariski topology), a regular sequence of elements $(t_j)_{j \in J}$ of the ring $\Gamma(U, \mathcal{O}_X)$, and a unit $u \in \Gamma(U,\mathcal{O}_X^{\times})$ such that
\begin{equation*}
f = u \prod_{j \in J} t_j^{N_j}
\end{equation*} and such that the component $D_j \cap U$ of $D \cap U$, for any $j \in J$, can be identified with the affine closed subscheme $V(t_j)$ of $U$. The base change of $\rho_J$ along the opent immersion $U \cap D_J^{\circ} \hookrightarrow D_J^{\circ}$ is identified with the finite étale morphism of $k$-schemes
\begin{equation*}
\mathrm{Spec}\left(\mathcal{O}_{U \cap D_J^{\circ}}[T]/(T^{N_J}- u) \right) \longrightarrow U \cap D^{\circ}_J,
\end{equation*} where the strictly positive ineger $N_J$ is the greatest common divisor of the $N_j$ for all $j \in J$.

Theorem 38. Let $h: X' \longrightarrow X$ be an embedded resolution of the singularities of $(X,X_{\sigma})$. Let us denote by $D = h^{-1}(X_{\sigma}) = \sum_{i\in I} m_i D_i$ the exceptional divisor of $h$, that is supposed to be a simple normal crossings divisor, with $D_i$, $i \in I$, as (reduced) irreducible components. There exist strictly positive integers $n_i$, $i \in I$, such that we have the following formulars
\begin{equation*}
Z_f(T) = \sum_{\varnothing \neq J \subset I}(\mathbb{L}-1)^{\left|J \right|-1}[\widetilde{D}^{\circ}_J]\prod_{j \in J}\frac{1}{T^{-m_j}\mathbb{L}^{n_j}-1} \in \mathscr{M}_{X_{\sigma}}[[T]],
\end{equation*} and
\begin{equation*}
Z_{f,x}(T)  = \sum_{\varnothing \neq J \subset I}(\mathbb{L}-1)^{\left|J \right|-1}[\widetilde{D}^{\circ}_J \cap h^{-1}(x)]\prod_{j \in J}\frac{1}{T^{-m_j}\mathbb{L}^{n_j}-1} \in \mathscr{M}_{k}[[T]],
\end{equation*} for any $x \in X_{\sigma}(k)$.

Definition 39. The motivic nearby cycle $\psi_f$ is defined as, thanks to the rationality of the motivic zeta function,
\begin{equation*}
\psi_f = -\left(\underset{T \longrightarrow +\infty}{\lim} Z_f(T) \right)= \sum_{\varnothing \neq J \subset I} [\widetilde{D}^{\circ}_J](1 - \mathbb{L})^{\left|J \right|-1} \in \mathscr{M}_{X_{\sigma}}.
\end{equation*} If $x \in X_{\sigma}(k)$, we define the motivic Milnor fiber as follows.
\begin{equation*}
\psi_{f,x} = -\left(\underset{T \longrightarrow +\infty}{\lim} Z_{f,x}(T) \right)= \sum_{\varnothing \neq J \subset I} [\widetilde{D}^{\circ}_J \cap h^{-1}(x)](1 - \mathbb{L})^{\left|J \right|-1} \in \mathscr{M}_{k}.
\end{equation*}

### #733235Motivic integration: an introduction

Gửi bởi trong 13-04-2022 - 18:25

Order function associated to an effective divisor

Let $X$ be a smooth $k$-variety of dimension $d$. Let $D$ be an effective divisor, $x$ is a point in $X$ and $g$ is a local defining equation for $D$ on a neighborhood $U$ of $x$ in $X$. For an arc $\gamma_u$ over a point $u \in U$. The intersection number $\gamma_u \cdot D$ is defined to be the order of vanishing of the formal power series $g(\gamma_u(t))=0$ at $t=0$.

Definition 20. Define the function $F_D$ to be:

\begin{align*}
F_D: J_{\infty}(X) & \longrightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0} \cup \left \{\infty \right \}\\
\gamma_u & \longmapsto \gamma_u \cdot D.
\end{align*}

We want to integrate the function $F_D$ over $J_{\infty}(X)$ and hence we must understand the level sets $F^{-1}_D(s)$ for $s \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \cup \left \{\infty \right \}$.

For an effective divisor $D = \sum_{i=1}^r a_i D_i$ ($D_i$'s are prime divisors) and $J \subset \left \{1,2,...,r \right \}$ a subset, define:
\begin{equation*}
D_J = \begin{cases}
\bigcap_{j \in J} D_j & \text{if} \ J \neq \varnothing, \\
Y & \text{if} \ J = \varnothing
\end{cases}
\ \ \ \ \text{and} \ \ \ \
D^{\circ}_J  = D_J \setminus \bigcup_{j \in \left \{1,2,...,r\right \}\setminus J} D_j.
\end{equation*} Recall that a divisor $D = \sum_{i=1}^r a_i D_i$ on $X$ has only simple normal crossings if at each point $x \in X$, there is a neighborhood $U$ of $x$ with coordinates $x_1,...,x_n$ for which a local defining equation for $D$ is $g = x_1^{a_{j_1}}\cdots x_{j_r}^{a_{j_x}}$ with $0 \leq j_x \leq d$.

Lemma 21. For $D=\sum a_i D_i$ has only simple normal crossings such that all $D_i$'s are smooth, $F^{-1}_D(s)$ is a cylinder set for $s \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$.

Lemma 22. $F^{-1}_D(\infty)$ is not a cylinder set but a countable intersection of cylinder sets.

So far, lemma 22 tells us that $F_D$ is not $\widetilde{\mu}$-measurable ($\widetilde{\mu}$ in definition 19) because $F_D^{-1}(\infty)$ is not a cylinder set. To proceed, we have to extend $\widetilde{\mu}$ to a measure $\mu$ such that $F^{-1}_D(\infty)$ is $\mu$-measurable. We first see that $J_{\infty}(X) \setminus F_D^{-1}(\infty)$ is a countable disjoint union of cylinder sets
\begin{equation*}
J_{\infty}(X) \setminus \pi^{-1}_0 \pi_0(F_D^{-1}(\infty)) \sqcup \bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}} \left(\pi_n^{-1}\pi_n(F_D^{-1}(\infty)) \setminus \pi_{n+1}^{-1}\pi_{n+1}(F_D^{-1}(\infty)) \right).
\end{equation*} The above decomposition suggests us that we should extend $\widetilde{\mu}$ to a measure $\mu$ defined on the colletion of countable disjoint union of cylinder sets so that $J_{\infty}(X)\setminus F_D^{-1}(\infty)$ (and hence $F_D^{-1}(\infty)$) is $\mu$-measurable. However, countable sums are not defined in $\mathscr{M}_k = K_0(\mathrm{Var}_k)[\mathbb{L}^{-1}]$ and nothing warrants that our measure is well-defined in the sense that it is independent of the choice of the decomposition into countable disjoint union of cylinder sets. Kontsevich solved both problems at once! Follow a paper of Loeser, one should proceed by analogy with $p$-adic integration: $K_0(\mathrm{Var}_k)$ plays the role of $\mathbb{Z}$ and $K_0(\mathrm{Var}_k)[\mathbb{L}^{-1}]$ plays the role of $\mathbb{Z}[p^{-1}]$. Since in $\mathbb{R}$, $p^{-i}$ has limit $0$ as $i \longrightarrow \infty$, we should complete $K_0(\mathrm{Var}_k)[\mathbb{L}^{-1}]$ in such a way that $\mathbb{L}^{-i}$ has limit $0$ as $i \longrightarrow \infty$.

Definition 23. Definine $F^m$ to be the subgroup of $\mathscr{M}_k$ generated by element of the form $[S]\mathbb{L}^{-i}$ with $\dim(S)\leq i - m$. We have $F^{m+1} \subset F^m, \ \mathbb{L}^{-m} \in F^m$ and $F^m F^n \subset F^{m+n}$. We denote by $\hat{\mathscr{M}}_k$ the completion with respect to this filtration.

Definition 24. Let $\mathcal{C}$ denote the collection of countable disjoint unions of cylinder sets $\coprod_{i \in \mathbb{N}} C_i$ for which $\widetilde{\mu}(C_i) \longrightarrow 0$ as $i \longrightarrow \infty$, together with their complements. Extend $\widetilde{\mu}$ to a measure $\mu$ on $\mathcal{C}$ given by
\begin{equation*}
\bigsqcup_{i \in \mathbb{N}} C_i \longmapsto \sum_{i \in \mathbb{N}}\widetilde{\mu}(C_i).
\end{equation*} It is nontrivial to show that this definition is independent of the choice of $C_i$'s.

Lemma 25. $\widetilde{\mu}(\pi_n^{-1}\pi_n(F_D^{-1}(\infty))) \in F^{n+1} \subset \mathscr{M}_k$.

Lemma 26. $F_D^{-1}(\infty)$ is $\mu$-measurable and $\mu(F_D^{-1}(\infty))= 0$.

Definition 27. (naive version of motivic integration). Keeping the same hypotheses on $X$ and $D$ ($D$ has only simple normal crossings), we define the motivic integral of the pair $(X,D)$ to be
\begin{equation*}
\int_{J_{\infty}(Y)} \mathbb{L}^{-F_D}d\mu = \sum_{s \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \cup \left \{\infty \right \} } \mu(F_D^{-1}(s))\mathbb{L}^{-s}.
\end{equation*} Since $F_D^{-1}(\infty)$ has measure zero so in fact the sum on the right is over $\mathbb{Z}_{\geq 0}$.

Proposition 28. With the same hypotheses as in the previous definition. Then:
\begin{equation*}
\int_{J_{\infty}(X)} \mathbb{L}^{-F_D}d\mu = \sum_{J \subset \left \{1,2,...,r\right \}} [D^0_J]\left( \prod_{j \in J}\frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1} \right) \mathbb{L}^{-d}.
\end{equation*}

### #733234Motivic integration: an introduction

Gửi bởi trong 13-04-2022 - 18:17

Grothendieck ring of varieties

Definition 9. Let $S$ be a ring. A motivic measure $\lambda$ from the category $\mathrm{Var}_k$ with values in $S$, assigns to any $X$ in $\mathrm{Var}_k$ an element $\lambda(X)$ of $S$ such that:

• $\lambda([\mathrm{Spec}(k)]) = 1$.
• $\lambda([X]) = \lambda([Y]) + \lambda([X \setminus Y])$ for $Y$ closed in $X$.
• $\lambda([X][Y]) = \lambda([X])\lambda([Y])$ for $X, Y \in \mathrm{ob}(\mathrm{Var}_k)$.

Remark. Any motivic measure $\lambda$ naturally extend to take its values on constructible subsets of algebraic varieties. Indeed a constructible subset $W$ maybe written as a finite disjoint union of locally closed subvarieties $Z_i$ and hence we can define $\lambda(W)$ to be $\sum \lambda(Z_i)$. By the very axioms, this is independent of the choice of the decomposition into locally closed subvarieties.

Example 10. Let $k$ be a finite field and $K/k$ a finite extension, then the additive invariant $[X] \longmapsto \left | X(K) \right|$ is a motivic measure.

Example 11. Let $l$ be a prime number distinct from the characteristic of $k$. The assignment $$[X] \longmapsto \sum_{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^i H_{c}^n(X,\mathbb{Q}_l)$$ where $H_c^i$ denote the $i^{th}$ $l$-adic cohomology with compact support, defines a motivic measure. This also works effectively for every other classic cohomology theories, e.g., Hodge theory, crystalline cohomology.

Example 12. Let us assume $k$ is a field of characterisitc zero. It follows from Deligne's mixed Hodge theory that there is a unique motivic measure $H: \mathrm{Var}_k \longrightarrow \mathbb{Z}[u,v]$, which assigns each smooth projective variety $X$ over $k$ its Hodge polynomial:
\begin{equation*}
H(X,u,v) = \sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(X)u^p v^q
\end{equation*} where $h^{p,q}(X) = \dim H^q(X,\Omega^p)$ is the $(p,q)$-Hodge number of $X$. For instance, if $k = \mathbb{C}$ then $H(\mathbb{P}^n,u,v) = \sum_{i=0}^n (uv)^i$. The uniqueness of $H$ is highly nontrivial to be proved; it is a consequence of the fact that $K_0(\mathrm{Var}_k)$ (defined below) is generated by classes of smooth proper $k$-varieties.

Definition 14. In the sequel, $[-]$ always denotes the isomorphism class of some object in a appropriate category. We denote by $\mathbb{Z}[\mathrm{Var}_S]$ the free abelian group on $\mathrm{Var}_S$. The Grothendieck ring over $S$ $K_0(\mathrm{Var}_S)$ is the quotient of $\mathbb{Z}[\mathrm{Var}_S]$ by its subgroup, generated by element of the form $[X] - [Z] - [X \setminus Z]$, where $X$ is a $S$-scheme of finite presentation, and $Z$ a closed subscheme of $X$. The fiber product over $S$ induces, by linearity, a ring structure on it by setting $[X] \cdot [Y] = [X \times_S Y]$. We note $\mathbf{L} = [\mathbb{A}_S^1]$ and $\mathscr{M}_S = K_0(\mathrm{Var}_S)[\mathbf{L}^{-1}]$ the localization of $K_0(\mathrm{Var}_S)$ by the element $\mathbf{L}$. When $S = \mathrm{Spec}(k)$ with $k$ a field, we simply write $\mathscr{M}_k$ instead of $\mathscr{M}_{\mathrm{Spec}(k)}$.

We denote by $\mathscr{M}_k[T]_{loc}$ the subring of $\mathscr{M}_k[[T]]$ generated by $\mathscr{M}_k[T]$ and the series $(1 - \mathbb{L}^a T^b)^{-1}$ with $a \in \mathbb{Z}$ and $b \in \mathbb{N} \setminus \left \{0 \right \}$.

Remark.

• It is evident from the very definition of $K_0(\mathrm{Var}_k)$ that it possesses a universal property: any motivic measure on $\mathrm{Var}_k$ factors through $K_0(\mathrm{Var}_k)$.
• $K_0(\mathrm{Var}_{\mathbb{C}})$ is not a domain. It was showed that there exist two abelian varieties $A, B$ such that $[A] \neq [B]$ but $A \times A \simeq B \times B$, which implies $([A] - [B])([A] + [B]) = [A]^2 - [B]^2 = 0$.
• It is proved that if $k$ has characteristic zero, then $K_0(\mathrm{Var}_k)$ can be generated by isomorphism classes of irreducible smooth projective varieties subject to the blow-up relations.

Example 15. $[\mathbb{P}_k^n] = \mathbb{L}^n + \mathbb{L}^{n-1} + \cdots + \mathbb{L} + 1$.

Example 16. For $k$ is algebraically closed and $X = V(x^3 - y^2)$ in $\mathbb{A}^2_k$, then $[X] = [\mathbb{A}_k^1 \setminus \left \{0\right \}] + [\left \{0 \right \}] = [\mathbb{A}^1_k] = \mathbb{L}$.

Example 17. For any $f: Y \longrightarrow X$ a piecewise trivial fibration with fiber $F$, i.e., $X = \coprod X_i$ locally closed and $f_{\mid f^{-1}(X_i)}: f^{-1}(X_i) \longrightarrow X_i$ is of the form (precisely, isomorphic to) $X_i \times F \longrightarrow X_i$, then:
\begin{equation*}
[Y] = \sum [f^{-1}(X_i)] = [F] \sum [X_i] = [F][X].
\end{equation*}
For instance, for a reasonable $k$-scheme $X$, $[J_m(X)] = \mathbb{L}^{m\dim(X)}[X]$.

Definition 18. Let $X$ be an algebraic $k$-variety of dimension $d$ (maybe singular). A subset $C \subset J_{\infty}(X)$ is called a cylinder set if $C = \pi^{-1}_n(B_n)$ for some $n \in \mathbb{N}$ and $B_n \subset J_n(X)$ is a constructible subset, i.e., a finite disjoint union of locally closed subvarieties.

Remark. In a paper of Denef and Loeser, it has been proven that for any algebraic variety $X$ (not necessarily smooth), $\pi_n(J_{\infty}(X))$ is constructible for any $n \in \mathbb{N}$.

Definition 19. Let $X$ be a smooth $k$-variety of dimension $d$ and $C = \pi^{-1}(B_n)$ a cylinder set where $B_n \subset J_n(X)$ a constructible subset. The function:
\begin{align*}
\widetilde{\mu}: \left \{\text{cylinder sets in} \ J_{\infty}(X) \right \} & \longrightarrow \mathscr{M}_k \\
\pi^{-1}_n(B_n) & \longmapsto \frac{[B_n]}{\mathbb{L}^{(n+1)d}}.
\end{align*}
It is straightforward to show that $\widetilde{\mu}$ is a finitely additive measure.

### #733231Motivic integration: an introduction

Gửi bởi trong 13-04-2022 - 18:10

In this topic, I introduce the notion of the so-called motivic integration, which is an upgrade version of the old version, namely, the p-adic integration. The word motivic literally means the values of this integration is essentially geometric. It was introduced by M. Kontsevich in his lecture in Orsay in 1995 to solve a theorem of Bartyrev stating that two birational Calabi-Yau varieties have the same Betti numbers.

Let $S$ be a scheme. By a $S$-algebraic variety, we mean a $S$-scheme of finite presentation. We denote by $\mathrm{Var}_S$ the isomorphism classes of finite presentation $S$-schemes. When $S = \mathrm{Spec}(k)$ with $k$ a field, we simply write $\mathrm{Var}_k$ instead of $\mathrm{Var}_{\mathrm{Spec}(k)}$.

Jet scheme and arc space

Let $X$ be a $k$-variety.

Proposition 1. For $m \in \mathbb{N}$, there exists an algebraic $k$-variety $J_m(X)$ such that:
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_k(Z \times \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{m+1})), X) \simeq \mathrm{Hom}_k(Z,J_m(X))
\end{equation*} for any $k$-scheme $Z$.

Proof. It is sufficient to deal with the case $X, Z$ are affine, i.e., $X = \mathrm{Spec}(R)$ and $Z = \mathrm{Spec}(A)$ for some $k$-algebra $R$ and some finitely generated $k$-algebra $R = k[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r)$.
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_k(\mathrm{Spec}(A) \times_k \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{m+1})), \mathrm{Spec}(R))  \simeq \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Spec}(A \otimes k[t]/(t^{m+1})), \mathrm{Spec}(R))
\end{equation*} which is nothing but $\left \{\varphi: k[x_1,...,x_n] \longrightarrow A[t]/(t^{m+1}) \mid \varphi(f_i) = 0 \ \forall \ i = \overline{1,r} \right \}$. For such a $\varphi$, set:
\begin{equation*}
\varphi(x_i) = a_i^0 + a_i^1 t + \cdots + a_i^m t^m \ \forall \ i =\overline{1,n}
\end{equation*} and,
\begin{equation*}
\varphi(f_i) = F^0_i(a^u_v) + F^1_i(a^u_v)t + \cdots + F^m_i(a^u_v) t^m
\end{equation*} where $u = \overline{0,m}, v = \overline{1,n}$ and $F^t_i$'s are polynomials in $a^{u}_v$. Consequently, we see that $\varphi(f_i)=0$ if and only if all $F^t_i(a^u_v) = 0$; and hence
\begin{align*}
\left \{\varphi: k[x_1,...,x_n] \longrightarrow A[t]/(t^{m+1}) \mid \varphi(f_i) = 0 \ \forall \ i = \overline{1,r} \right \} &  = \mathrm{Hom}(k[x_j,x^0_j,...,x^m_j]_{j=\overline{1,n}}/(F_i^l(x^u_j)), A) \\
& = \mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}(A),\mathrm{Spec}(R_m))
\end{align*}
where $R_m = k[x_j,x^0_j,...,x^m_j]_{j=\overline{1,n}}/(F_i^l(x^u_j))$; and finally we can define $J_m(X) = \mathrm{Spec}(R_m)$.

Definition 2. For $m \geq n$, the natural surjections:
\begin{equation*}
\end{equation*} induced transition morphisms $\pi_{m,n}: J_m(X) \longrightarrow J_n(X)$, make $(J_m(X), \pi_{m,n})$ a projective system. Define $J_{\infty}(X) = \underset{m \longrightarrow \infty}{\lim} J_m(X)$ and denote by $\pi_m$ the $m^{th}$-canonical projection $\pi_m:J_m(X) \longrightarrow J(X)$.

Remark. It is not trivial that the limit $\underset{m \longrightarrow \infty}{\lim} J_m(X)$ exists in the category of schemes. We must prove that the transition morphisms $\pi_{m,n}$'s are affine.

Proposition 3. For any $k$-scheme $Z$, we have:
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_k(Z \hat{\times_k}  \mathrm{Spec}(k[[t]]), X) \simeq \mathrm{Hom}_k(Z,J_{\infty}(X))
\end{equation*} where $Z \hat{\times} \mathrm{Spec}(k[[t]])$ means the formal completion of $Z \hat{\times} \mathrm{Spec}(k[[t]])$ along the subscheme $Z \times_k \left \{0 \right \}$.

Definition 4. For $m \in \mathbb{N}$, the scheme $J_m(X)$ is called the $m^th$ jet scheme of $X$ and $J_{\infty}(X)$ is called the arc space of $X$. For any $k$-scheme $Z$, elements in $\mathrm{Hom}_k(Z,J_m(X))$ are called $Z$-valued $m$-jets of $X$ and elements in $\mathrm{Hom}_k(Z,J_{\infty}(X))$ are called $Z$-valued arcs of $X$. If $Z = \mathrm{Spec}(k)$, we just say $m$-jets or arcs.

Example 5. Let $X = V(x^3 + y^2) \subset \mathbb{A}^2_k$. View $x,y$ as formal power series in $t$ and consider the equation:
\begin{equation*}
(a_0+a_1t+\cdots)^3 + (b_0+b_1t+\cdots)^2 = 0.
\end{equation*} By truncating the above equation at degree $m+1$, it gives us the defining equations of $J_m(X)$. For instance, $J_0(X)$ is given by $a_0^3+b_0^2=0$; $J_1(X)$ is given by $a_0^3+b_0^2=0$ and $3a_0^2 a_1 + 2b_0 b_1=0$.

Proposition 6. Let $X \longrightarrow Y$ be an étale morphism of $k$-varieties, then $J_m(X) \cong J_m(Y) \times_Y X$ for any $m \in \mathbb{N} \cup \left \{\infty \right \}$.

Proof. We prove that equality on the level of functors of points. We have:
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}(-.J_m(X)) \simeq \mathrm{Hom}(- \times_k \mathrm{Spec}(k[[t]]/(t^{m+1})), X)
\end{equation*} and
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}(-,J_m(Y) \times_Y X) \simeq\mathrm{Hom}(-,J_m(Y)) \times\mathrm{Hom}(-,X) \simeq \mathrm{Hom}(- \times_k \mathrm{Spec}(k[[t]]/(t^{m+1})), Y) \times \mathrm{Hom}(-,X)
\end{equation*} For a $k$-scheme $Z$ we consider the diagram:

We have to show that  for a $Z$-valued $m$-jet of $Y$ and $Z$-valued $0$-jet of $X$ induce a $Z$-valued $m$-jet of $X$ (the other direction is obvious). Since $X \longrightarrow Y$ is étale, it is formally étale so such a dashed arrow exists.

Corollary 7. Let $U \hookrightarrow X$ be an open immersion, then $J_m(U) \hookrightarrow J_m(X)$ is also an open immersion for any $m \in \mathbb{N} \cup \left \{\infty \right \}$.

By an analogous method, we deduce the following important result:

Proposition 8. Let $X$ be a smooth $k$-scheme of dimension $d$. Then $J_m(X)$ is locally a $\mathbb{A}^{md}$-bundle over $X$. In particular, $J_m(X)$ is smooth of dimension $(m+1)d$. In the same way, $J_{m+1}(X)$ is locally a $\mathbb{A}^d$-bundle over $J_m(X)$.

### #733228Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 13-04-2022 - 17:44

Mấy anh làm mấy cái trang cá nhân hay vậy , đợi khi nào em nhập hội PhD cũng làm một cái.

P/s: đang rảnh nên em sẽ khai bút một topic trong toán hiện đại.

### #733198Học và học lại ngành của bạn

Gửi bởi trong 12-04-2022 - 00:42

Em vào trường này thì đang định xin học về chương trình Langlands ạ. Trường đại học ở Úc em học có nhiều người làm trong mảng lý thuyết biểu diễn ((geometric) representation theory) nên hồi đó em cũng cố theo học mảng này. Nói thế thôi ạ chứ em cũng quèn lắm, cũng chỉ có kiến thức mỗi mảng một ít, chưa cố đi chuyên sâu vào cái nào cả.

Giờ em cũng chỉ đang cố đọc hiểu bài của Bằng với anh nxb viết ạ. Rồi nếu mà thấy thạo toán bằng tiếng việt một tí nữa thì em sẽ xin viết một bài ạ.

Chương trình Langlands thì làm sao mà quèn được hả Toàn ? Diễn đàn mình cũng còn một anh nữa làm về Langlands hay sao, nhưng mình không tiện nhắc tên vì lâu cũng không liên lạc.

Thực ra cậu cứ viết bằng tiếng Anh cũng được, nhân đây em nghĩ ở mục toán hiện đại anh em có thể sử dụng hai ngôn ngữ vì đi vào nghiên cứu sâu có rất nhiều thuật ngữ không được dịch, chưa kể dùng tiếng Anh hay Việt cũng tùy gu từng người và nếu đã từng nghiên cứu dù là ở mức undergrad thì ít nhất cũng phải đọc được tiếng Anh.