bangbang1412

Do tập $[0,1]$ compact nên tồn tại một dãy con $(x_{n_k})$ của $(x_n)$ hội tụ về một điểm trong $[0,1]$ (lưu ý giới hạn này có thể là hai đầu mút, do đó nằm ngoài đoạn $(0,1)$ ban đầu). Gọi $a = \lim_{n_k \to \infty} x_{n_k}$, khi đó

$$\left |y_{n_k} - a \right| \leq \left |x_{n_k} - y_{n_k} \right| + \left |a - x_{n_k} \right|$$

và theo định nghĩa, khi $n_k \to \infty$ ta có $A = \lim_{n_k \to \infty} y_{n_k}$.

Bài này vừa lên tạp chí Pi, bản ở diễn đàn là bản chưa edit, mình sẽ chỉnh sửa lại.

 

Bằng quy nạp, ta chứng minh được đẳng thức sau với mọi số tự nhiên $N \geq 1$,

$$f(x) = \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1 - x^{2^k}} + x^{2^{N+1}-2}f(x^{2^N}).$$

Như vậy nếu $\left |x \right | <1$ thì ta có (bằng tính liên tục)

$$f(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1-x^{2^k}}.$$

Do hàm $f(x)$ có tính đối xứng $f(x)=f(-x)$ nên ta có thể giả sử $x \in (0,1)$. Cố định $x$ như vậy, ta thấy

$$f(x) \leq \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N x^{2^k-2} \leq  \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^k = \frac{1}{1- x}$$

và do đó hội tụ điểm.

 

Tuy nhiên mình không biết là hàm $f(x)$ có liên tục không và $f(1)$ là bao nhiêu.

Hãy giả sử ta đang làm việc trên một trường $K$ vô hạn nào đó. Gọi $A$ là một ma trận cỡ $(m \times n)$ với $m < n$ và ta xét hệ phương trình $Ax=\beta$ với $\beta \in K^m$. Giả sử phương trình có một nghiệm $x_0$, ta sẽ chứng minh nó có vô số nghiệm. Thực vậy, mọi nghiệm khác của nó đều có dạng $x + x_0$ với $x$ là nghiệm của $Ax=0$. Như vậy chỉ cần chứng minh phương trình thuần nhất $Ax = 0$ có vô số nghiệm.

 

Nếu bạn xem $A$ như một ánh xạ tuyến tinh thì tập nghiệm của nó chính là $\mathrm{Ker}(A)$ và do đó có số chiều là $n - \mathrm{rank}(A)$ theo định lý đẳng cấu thứ nhất. Tuy nhiên $\mathrm{rank}(A) \leq \mathrm{min} \left \{m,n \right \} = m$ nên số chiều $\dim \mathrm{Ker}(A)>0$, chứng tỏ $Ax=0$ có vô số nghiệm.

 

Nếu bạn muốn tránh sử dụng công thức số chiều thì có thể sử dụng phép khử Gauss, khi dùng phép khử Gauss với một hệ có số phương trình ít hơn số ẩn, sẽ luôn dư ra một số toạ độ tự do và có thể chọn tuỳ ý, dẫn đến vô hạn cách chọn.

Với Weinstein–Aronszajn identity, có được $\det\left ( 1+ A^{T}A \right )= \det\left ( 1+ AA^{T} \right )$.
Tiếp theo bởi Singular value decomposition, lại có được $A= U\Sigma V^{T}, A^{T}= V\Sigma^{T}U^{T}$,
$\Rightarrow 1+ A^{T}A= V\left ( \Sigma\Sigma^{T}+ 1 \right )V^{T}, 1+ AA^{T}= U\left ( \Sigma\Sigma^{T}+ 1 \right )U^{T}$ ($V$ unitary, $\det\left ( VW \right )= \det\left ( WV \right )= \det W$).
Lời giải bài toán Least-squares không phải duy nhất ($\det\left ( AA^{T} \right )= 0$), vì $\det\left ( 1+ AA^{T} \right )= \det\left ( 1+ A^{T}A \right )= \det\left ( 1+ \Sigma\Sigma^{T} \right )$.

Thú thật là mình không hiểu bạn viết gì, bạn cứ ném một đống link vào rồi bắt người ta đọc, đã thế còn không giải thích thêm gì, không giới thiệu thuật ngữ đấy là còn chưa nói tới việc những kiến thức bạn sử dụng là quá nhiều để giải một bài toán như thế này nên thậm chí nó có đúng, đấy là một lời giải tệ.

 

Lời khuyên, tập viết các chứng minh đơn giản và ngay ngắn trước khi cứ đi lượm link trên stack.

Xem mỗi ma trận như một ánh xạ tuyến tính thì hạng của nó là số chiều của ánh xạ tuyến tính liên kết.

• Ta có $\mathrm{rank}(f+g) \leq \mathrm{rank}(f) + \mathrm{rank}(g)$ do $\mathrm{Im}(f+g) \subset \mathrm{Im}(f) + \mathrm{Im}(g)$ và $\dim(V+W) \leq \dim(V) + \dim(W)$.
• Ta có $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(f)$ do $\mathrm{Im}(f \circ g) \subset \mathrm{Im}(f)$. Để chứng minh $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(g)$ ta sẽ chứng minh $\mathrm{Ker}(g) \subset \mathrm{Ker}(f \circ g)$ nhưng điều này là dễ dàng cho $g(x) = 0 \Rightarrow (f \circ g)(x)=0$.

a) $\exists x_1,x_2 \in X: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1 = x_2$.

b) $\exists y_1,y_2 \in Y: g(y_1)=g(y_2) \Rightarrow \exists x_1,x_2\in X: f(x_1)=y_1 \wedge f(x_2)=y_2 \Rightarrow h(x_1)=h(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \Rightarrow y_1=y_2$.

c) $\forall \ y \in Y \Rightarrow g(y) \in Z \Rightarrow \exists x \in X: h(x) = g(y) \Rightarrow g(f(x))=g(y) \Rightarrow f(x)=y$.

Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.

Anh tự nhiên thấy dịch là “bó gai” rất hợp (lúc này “perversity” sẽ dịch là “gai”), nhưng không biết mọi người nghĩ sao.
Một câu hỏi toán học: anh đoán monoidal structure của constructible derived category phải cảm sinh một monoidal structure trên phạm trù các bó perverse (cơ chế của cái cảm sinh này có trong Higher Algebra của Lurie, mình có thể trình bày kỹ hơn trong câu trả lời khác), nhưng mà dường như cấu trúc này không có ích lợi gì? Không biết ấn tượng này có đúng không.

Ban đầu lúc nghĩ ra đối đồng điều giao thì MacPherson và Goresky muốn đặt nó là "obstinate" do nảy sinh một sự cố là một số đối chu trình cứ nhất quyết không chịu giao hoành nhau. Nhưng từ obstinate không hợp lý theo ngôn ngữ của họ, nên họ để tạm là perverse rồi định đổi tên sau, cơ mà chưa kịp đổi tên thì đã nổi tiếng sau bài báo của Bernstein, Beilinson, Deligne.

Theo em biết thì không có cái monoidal structure nào được cảm sinh cả, bó perverse chỉ ổn định dưới tác động của đối ngẫu Verdier thôi.

Một bó bướng bỉnh... là gì?

 

Bởi Mark Andrea de Cataldo và Luca Migliorini

 

Các đa tạp được định nghĩa bằng cách dán các tập con mở của không gian Euclide. Các dạng vi phân, các trường vector, vân vân, được định nghĩa một cách địa phương và sau đó được dán để sinh ra một đối tượng toàn cục. Khái niệm bó là hiện thân của ý tưởng dán. Các bó được sinh ra theo nhiều cách: các bó của các dạng vi phân, của các trường vector, của các toán tử vi phân, các bó hằng và hằng địa phương, vân vân. Một bó hằng địa phương (một hệ địa phương) trên một không gian $X$ được xác định bởi đơn đạo của nó, i.e., bởi một biểu diễn của nhóm cơ bản $\pi_1(X,x)$ trong nhóm các tự đẳng cấu của thớ tại $x \in X$: bó của các định hướng trên dải Möbius gán $-\operatorname{Id}$ tới các phần tử sinh của nhóm cơ bản $\mathbb{Z}$. Một bó, hoặc thâm chí một cấu xạ giữa các bó, có thể được dán lại từ dữ liệu địa phương của nó: đạo hàm ngoài có thể xem như một cấu xạ giữa các bó của các dạng vi phân; việc dán là khả thi bởi vì đạo hàm ngoài độc lập với việc chọn các toạ độ địa phương.

Lý thuyết bó được hoàn thiện hơn bằng các xét các phức của các bó. Một phức của các bó $K$ là một họ các bó $\left \{K^i \right \}_{i \in \mathbb{Z}}$ và các cấu xạ $d^i: K^i \longrightarrow K^{i+1}$ thoả mãn $d^2 = 0$. Bó đối đồng điều thứ $i$ $\mathcal{H}^i(K)$ là $\operatorname{Ker} d^i/ \operatorname{Im}  d^{i+1}$. (Bó hoá của) Phức de Rham $\mathcal{E}$ là phức với các thành phần là các bó $\mathcal{E}^i$ của các $i$-dạng vi phân và các vi phân $d^i: \mathcal{E}^i \longrightarrow \mathcal{E}^{i+1}$ được cho bởi đaọ hàm ngoài của các dạng vi phân. Bằng bổ đề Poincaré, các bó đối đồng điều đều bằng không, ngoại trừ $\mathcal{H}^0 \simeq \mathbb{C}$, bó hằng.

Định lý de Rham, phát biểu rằng đối đồng điều của một bó hằng bằng với các dạng đóng modulo các dạng khớp, dẫn tới việc rằng $\mathbb{C}$ và $\mathcal{E}$ là không thể phân biệt một cách đối đồng điều với nhau, thậm chí tại mức địa phương. Nhu cầu đồng nhất hai phức chứa thông tin đối đồng điều giống nhau thông qua một đẳng cấu dẫn tới khái niệm của phạm trù dẫn xuất: các vật là các phức và các mũi tên được thiết kế để đạt được các sự đồng nhất như mong muốn. Phép nhúng các phức $\mathbb{C} \subseteq \mathcal{E}$ được thăng hạng theo sắc lệnh lên một đẳng cấu trong phạm trù dẫn xuất bởi vì nó cảm sinh một đẳng cấu ở mức của các bó đối đồng điều.

Trong khi phạm trù dẫn xuất đưa vào một lớp dày sự trừu tượng, nó mở rộng phạm vi và tính linh hoạt của lý thuyết. Ta định nghĩa các nhóm đối đồng điều của một phức và thác triển các toán tử thông thường của tô-pô đại số lên các phức của các bó: các kéo lùi, các đẩy xuôi, các tích cup và cap, vân vân. Cũng có một phiên bản tổng quát cho đối ngẫu của các phức, tổng quát hoá đối ngẫu Poincaré cổ điển.

Các bó bướng bỉnh tồn tại trên các không gian có kì dị: các không gian giải tích, các đa tạp đại số, các không gian PL, các giả-đa tạp, vân vân. Để dễ dàng trình bày, chúng ta hạn chế xuống các bó của các không gian vector trên các đa tạp đại số phức và xuống các bó bướng bỉnh liên quan đến cái được gọi là tính bướng trung tâm (tạm dịch từ middle perversity). Để tránh đụng đến các nghịch lý như các bó được định giá trên tập Cantor, chúng ta áp đặt thêm một điều kiện kĩ thuật được gọi là tính khả dựng (tạm dịch từ constructibility). Nhắc lại rằng phạm trù $D_X$ của các phức khả dựng bị chặn của các bó trên $X$ nằm trong phạm trù dẫn xuất và ổn định dưới nhiều toán tử tô-pô vừa nhắc tới ở trên. Nếu $K$ nằm trong $D_X$, chỉ một số hữu hạn các bó đối đồng điều của nó khác không và, với mọi $i$, tập hợp $\mathrm{supp} \ \mathcal{H}^i(K)$, bao đóng của tập các điểm mà tại đó thớ là khác không, là một đa tạp đại số con.

Một bó bướng bỉnh trên $X$ là một phức khả dựng bị chặn $P \in D_X$ sao cho điều kiện sau thoả mãn với $K = P$ và đối ngẫu của nó $P^{\vee}$:
\begin{equation} \dim_{\mathbb{C}} \mathrm{supp} \ \mathcal{H}^{-i}(K) \leq i, \ \ \ \forall \ i \in \mathbb{Z}.\end{equation} Một cấu xạ giữa các bó bướng bỉnh là một mũi tên trong $D_X$.

Thuật ngữ "bó" xuất phát từ sự thật rằng, cũng giống như trong trường hợp các bó thông thường, (các cấu xạ giữa) các bó bước bỉnh có thể được dán; không giống như "bướng bỉnh", xem bên dưới. Lý thuyết của các bó bướng bỉnh có nguồn gốc trong hai khái niệm là đối đồng điều giao và $\mathcal{D}$-module. Như chúng ta thấy bên dưới, các bó bướng bỉnh và các $\mathcal{D}$-module được kết nối bởi tương ứng Riemann-Hilbert.

Giờ là thời điểm cho các ví dụ. Nếu $X$ không có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$, i.e., bó hằng tại bậc $-\dim_{\mathbb{C}}X$, là tự-đối ngẫu và bướng bỉnh. Nếu $Y \subseteq X$ là một đa tạp con đóng không kì dị, thì $\mathbb{C}_Y[\dim Y]$, xem như một phức trên $X$, là một bó bướng bỉnh trên $X$. Nếu $X$ có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$ thường không là một bó bướng bỉnh. Mặt khác, phức đối đồng điều giao (xem bên dưới) là một bó bướng bỉnh, bất kể $X$ có kì dị hay không. Mở rộng của hai bó bướng bỉnh là một bó bướng bỉnh. Ví dụ sau có thể đóng vai trò như một trường hợp thử cho những định nghĩa đầu tiên trong lý thuyết của các $\mathcal{D}$-module. Lấy $X = \mathbb{C}$ là đường thẳng phức với gốc $\mathfrak{o} \in X$, gọi $z$ là toạ độ chỉnh hình chuẩn, gọi $\mathcal{O}_X$ là bó các hàm chỉnh hình trên $X$, gọi $a$ là một số phức, và gọi $D$ là toán tử vi phân $D:f \longmapsto zf - af'$. Phức $P_a$
\begin{equation} \label{eq:2}
    0 \longrightarrow P^{-1}_a \coloneqq \mathcal{O}_X \overset{D}{\longrightarrow} P_a^0 \coloneqq \mathcal{O}_X \longrightarrow 0
\end{equation}
là bướng bỉnh. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a) = \mathbb{C}_X$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = \mathbb{C}_0$. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{<0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của bó $\mathbb{C}_{X \setminus \mathfrak{o}}$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = 0$. Nếu $a \notin \mathbb{Z}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của hệ địa phương trên $X\setminus \mathfrak{o}$ được gán với các nhánh của hàm đa trị $z^a$ và $\mathcal{H}^0(P_a)=0$. Trong mỗi trường hợp, đơn đạo tương ứng gửi phần tử sinh theo hướng dương của $\pi_1(X \setminus \mathfrak{o},1)$ tới $e^{2\pi i a}$. Đối ngẫu của $P_a$ là $P_{-a}$ (điều này tương thích tốt với các khái niệm về liên hợp của  toán tử vi phân và đối ngẫu của các $\mathcal{D}$-module). Mỗi $P_a$ là mở rộng của bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^0(P_a)[0]$ bởi bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^{-1}(P_a)[1]$. Mở rộng là tầm thường (tổng trực tiếp) khi và chỉ khi $a \notin \mathbb{Z}$.

Một hệ địa phương trên một đa tạp không kì dị có thể biến thành một bó bướng bỉnh bằng cách xem nó như một phức với một thành phần duy nhất tại bậc hợp lý. Mặt khác, một bó bướng bỉnh hạn chế xuống một hệ địa phương trên một đa tạp con mở trù mật. Chúng ta muốn hiểu rõ khẩu hiệu sau: các bó bướng bỉnh là phiên bản kì dị của các hệ địa phương. Để làm vậy, chúng ta bàn tới hai ý tưởng tưởng phổ biến dẫn đến sự khai sinh của các bó bướng bỉnh vào khoảng ba mươi năm trước:tương ứng Riemann-Hilbert suy rộng (RH) và đối đồng điều giao (IH).

 

(RH) Vấn đề thứ 21 của Hilbert liên quan đến những phương trình vi phân kiểu-Fuchs trên một diện Riemann thủng $\Sigma$. Khi ta chạy quanh các vết thủng, các nghiệm bị biến đổi: bó của các nghiệm là một hệ địa phương trên $\Sigma$.

 

Vấn đề thứ 21 hỏi liệu rằng có phải mọi hệ địa phương đều được sinh ra theo cách này (nó thực sự sinh ra theo cách này). Bó hóa của các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính trên một đa tạp dẫn đến khai niệm của $\mathcal{D}$-module. Một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic trên một đa tạp phức $M$ là một mở rộng của các phương trình kiểu Fuchs trên $\Sigma$. Bó của các nghiệm bây giờ được thay thế bởi phức của các nghiệm, cái mà, rất ấn tượng, thuộc vào $D_M$. Trong \ref{eq:2}, phức của các nghiệm là $P_a$, bó của các nghiệm của $D(f)=0$ là $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$, và $\mathcal{H}^0(P_a)$ liên quan tới tính (không) giải được của $D(f)=g$. Gọi $\mathcal{D}^b_{r,h}(M)$ là phạm trù dẫn xuất bị chặn của các $\mathcal{D}$-module trên $M$ với dối đồng điều là chính quy holonomic. RH phát biểu rằng phép gán (đối ngẫu của) phức của các nghiệm cảm sinh ra một tương đương phạm trù $\mathcal{D}^b_{r,h}(M) \simeq  D_M$. Các bó bướng bỉnh bước vào trung tâm của sân khấu: chúng tương ứng với, thông qua RH, các $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic (xem như các phức tập trung tại bậc không).

 

Để thấy sự tương ứng với khẩu hiệu được nhắc đến bên trên, phạm trù của các bó bướng bỉnh có chung các tính chất hình thức sau với phạm trù các hệ địa phương: nó là Abel (các hạt nhân, đối hạt nhân, các ảnh và các đối ảnh tồn tại, và đối ảnh đẳng cấu với ảnh), ổn định dưới tác động của đối ngẫu, Noether (điều kiện xích tăng thỏa mãn), và Artin (điều kiện xích giảm thỏa mãn), i.e., mọi bó bướng bỉnh là một mở rộng liên tiếp hữu hạn lần của các bó bưởng bỉnh đơn (không vật con). Trong ví dụ của chúng ta, các bó bướng bỉnh \ref{eq:2} là đơn khi và chỉ khi $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$.

 

Các bó bướng bỉnh đơn là gì? Đối đồng điều giao cho ta câu trả lời.

 

(IH) Các nhóm đối đồng điều giao của một đa tạp kì dị $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương là một bất biến đại số của đa tạp đó. Chúng trùng với đối đồng điều thông thường khi $X$ không kì dị và các hệ số là hằng. Các nhóm này ban đầu được định nghĩa và nghiên cứu bằng cách sử dụng lý thuyết của các xích hình học với mục đích nghiên cứu thiếu sót, do sự hiện diện của các kì dị, của đối ngẫu Poincaré cho đồng điều thông thường, và để đưa ra một biện pháp khắc phục cho nó bằng cách xét lý thuyết đồng điều sinh ra bởi việc chỉ xét các xích mà giao với tập kì dị theo cách kiểm soát được. Trong ngữ cảnh này, những dãy số nguyên nhất định, gọi là các sự bướng bỉnh (perversities), được đưa ra để cho một phép đo rằng một xích giao với tập kì dị như thế nào, do đó mà có thuật ngữ "bướng bỉnh". Các nhóm đối đồng điều giao vừa được định nghĩa thỏa mãn các kết luận của đối ngẫu Poincaré và của định lý siêu phẳng Lefschetz.

 

Mặt khác, các nhóm đối đồng điều giao còn có thể được xem như các nhóm đồi đồng điều của một số phức nhất định trong $D_M$: các phức giao của $X$ với các hệ số trong hệ địa phương. Đó là một bước ngoặt đáng chú ý trong cốt truyện của câu chuyện này khi các bó bướng bỉnh đơn chính là các phức giao của các đa tạp con bất khả quy của $X$ với các hệ số được cho bởi các hệ địa phương đơn!

Giờ chúng ta ở chỗ phải làm rõ khẩu hiệu ban đầu. Một hệ địa phương $L$ trên một đa tạp con $Z \subset M$ sinh một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic được định giá trên bao đóng $\overline{Z}$. Cùng $L$ đó cho ta một phức giao của $\overline{Z}$ with các hệ số trong $L$. Cả hai đối tượng mở rộng $L$ từ $Z$ lên $\overline{Z}$ theo các kì dị $\overline{Z}\setminus Z$. Bằng RH, phức giao chính là phức của các nghiệm của $\mathcal{D}$-module này.

 

Một vai trò trụ cột trong ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh được thể hiện bởi định lý phân rã: cho $f: X \longrightarrow Y$ là một cấu xạ riêng của các đa tạp; khi đó các nhóm đối đồng giao của $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương đơn đẳng cấu với tổng trực tiếp của một họ các nhóm đối đồng giao của các đa tạp đại số con của $Y$, với hệ số trong các hệ địa phương đơn. Ví dụ, nếu $f: X\longrightarrow Y$ là một giải kì dị của $Y$, khi đó các nhóm đối đồng điều giao của $Y$ là một tổng trực tiếp của các nhóm đối đồng điều thông thường của $X$. Tính chẻ ra "đơn giản-nhất-có thể" này là một sự thật sâu sắc nhất được biết đến kết nối đồng điều của các đa tạp đại số phức và các cấu xạ. Nó sai trong hình học giải tích và trong hình học đại số thực. Sự phân rã của các nhóm đối đồng điều giao của $X$ là phản ảnh trong đối đồng điều của một phân rã mịn hơn của các phức trong $D_Y$. Chứng minh ban đầu của sử dụng hình học đại số trên các trường hữu hạn (các bó bưởng bỉnh hoàn toàn có nghĩa trong nhánh này).

Một ứng dụng nổi bật của vòng tròn những ý tưởng này là sự thật rằng các nhóm đối đồng điều giao của các đa tạp (varieties) xạ ảnh có cùng các tính chất cổ điển với các nhóm đối đối đồng điều của các đa tạp (manifolds) xạ ảnh: định lý $(p,q)$-phân rã Hodge, định lý Lefschetz mạnh, và quan hệ Hodge-Riemann song tuyến tính. Điều này, chắc chắn, cùng với đối ngẫu Poincaré và định lý siêu phẳng Lefschetz bên trên.

 

Những ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh bao quát từ hình học tới tổ hợp tới giải tích đại số. Những ứng dụng ấn tượng nhất nằm trong địa hạt của lý thuyết biểu diễn, nơi mà sự hiện diện của chúng đã dẫn tới một cuộc cách mạng thực sự ngoạn mục: những chứng minh của giả thuyết Kazhdan-Lusztig, của hình học hóa của đẳng cấu Satake, và, gần đây, của bồ đề cơ bản trong chương trình Langlands.

 

Dịch bởi Phạm Khoa Bằng.

Cho $X = \mathbb{C}$ là mặt phẳng phức, xét ánh xạ chỉnh hình
$$f: X \longrightarrow X, z \longmapsto z^2.$$ Kí hiệu $\mathbb{C}_X$ là bó hằng với giá trị $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{C}$.

• Cho $x \in X$, tính thớ của bó $f_*(\mathbb{C}_X)$ tại $x$, suy ra rằng bó này không hằng địa phương.
• Xét phân hoạch $X = Y \sqcup Z$ trong đó $Y = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ and $Z = \left \{0 \right \}$. Chứng minh rằng các hạn chế $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$ và $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Z}$ đều là các bó hằng địa phương (locally constant).
• Xét phương trình $2zf'(z) = f(z)$ trên $Y$, chứng minh rằng đơn đạo của phương trình này là không tầm thường. Hệ số $2$ trong $2zf'(z)$ có quan trọng không? Nếu thay đổi bằng một số không nguyên thì đơn đạo thay đổi như thế nào?

Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\mathbb{C}_Y$ là một hạng tử trực tiếp của $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$. Định nghĩa bó $\mathcal{Q}$ trên $\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ bởi
$$\mathcal{Q}(U) = \left \{g: U \longrightarrow \mathbb{C} \mid 2zg'(z) = g(z) \right \}$$ với mỗi tập mở $U \subset \mathbb{C}^{\times}$.

• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ là hằng địa phương.
• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ không hằng bằng cách chỉ ra nó không có một lát cắt toàn cục nào.
• Bằng cách xét hai cấu xạ $$\mathbb{C}_Y(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto g \circ f$$ và $$\mathcal{Q}(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto \frac{g \circ f}{z}$$ hãy chứng minh rằng $(f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y) \simeq \mathbb{C}_Y \oplus \mathcal{Q}$.

Here I'd like to talk more about $D^b_{ctf}(X)$ (coefficient in some $\mathbb{Z}/n$) and this should partially explain why Grothendieck pointed out to Illusie as "the right notion". Every object in $D^b_{ctf}(X)$ is in fact quasi-isomorphic to a bounded flat complex whose components are constructible! (note that my definition in the previous answer did not include the constructibility). Any such (bounded, flat, constructible components) is called a perfect complex.

 

In some sense, the flatness is equivalent to projectiveness, and hence when we deal with derived categories of modules, we shoud replace everywhere flatness with projectiveness. Let $R$ be a ring, a complex in $D(R)$ is called perfect if it is quasi-isomorphic to a bounded complex of finite projective module. We denote by $D_{perf}(R)$ the triangulated subcategory of $D(R)$ formed by perfect complexes. This definition is slightly different with the ones in $D^b_{ctf}(X)$ but in $D^b(R)$ they are almost equivalent, namely, a complex in $D^b(R)$ is necessarily perfect provided that its cohomology are perfect (cohomology are perfect $\simeq$ cohomology are constructible) (at this point, I haven't checked why we can remove projectiveness, this is possibly due to the boudedness that we have imposed). But more importantly,

 

Proposition. For a ring, the set of compact objects of $D(R)$ are precisely perfect complexes.

 

Remind that a compact object $K$ in a category with small direct sums is a object such that $\operatorname{Hom}(K,-)$ commutes with small direct sums.

 

Proposition. The smallest strictly full triangulated subcategory stable under direct factors of $D(R)$ generated by a single object $R$ (regarded as a complex concentrated at degree $0$) is precisely the full subcategory of $D(R)$ consisting of perfect complexes.

 

Remind that a subcategory $\mathcal{C}$ of a category $\mathcal{A}$ with finite direct sums is stable under direct factors if whenever $X \oplus Y \in \mathcal{C}$ then both $X,Y \in \mathcal{C}$. These two results are subtle, I have to say that. Let me formulate in a more formal way: suppose that $\mathcal{T}$ is a triangulated having all direct sums and $\Lambda \subset \mathcal{T}$ is a set (not a proper class) of objects

• There exists a smallest triangulated subcategory $ \left < \left< \Lambda \right>\right >$ containing $\Lambda$ and stable under direct sums. If all objects of $\Lambda$ are compact and $ \left < \left< \Lambda \right>\right > = \mathcal{T}$ then we say that $\mathcal{T}$ is compactly generated. 
• There exists a smallest triangulated subcategory $ \left< \Lambda \right>^{ct}$ containing $\Lambda$ and stable under direct factors. If $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ then (by a consequence of abstract Brown representability theorem) we have $\left< \Lambda \right>^{ct}$ is exactly the triangulated category of compact objects of $\mathcal{T}$.

Moreover, the fact that $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ is equivalent to

$$\operatorname{Hom}(A[n],B) = 0 \ \forall \ A \in \Lambda \Rightarrow B = 0.$$ In terms of the formulation above, we can write $D(R) = \left < \left< R \right>\right >$ and $D_{perf}(R) = \left<R \right>^{ct}$. Their proofs can be ignored at first but you should think in comparison with the topological world. You replace $D(R)$ with $\mathbf{SH}$, the stable homotopy category, whose objects are sequences $X=(X_n)$ of simplicial sets together with morphisms $S^1 \wedge X_n \longrightarrow X_{n+1}$ so that you can define stable homotopy groups $\pi_n^{st}(X)$ and say that morphism is a stable weak equivalence if it induces isomorphisms on stable homotopy groups. Then $\mathbf{SH}$ is obtained by inverting all stable weak equivalence just like you invert all quasi-isomorphisms for complexes, it is a triangulated category whose distinguished triangles are those isomorphic to a cone sequence. There is a very special spectrum called the sphere spectrum $\mathbb{S} = (S^n)$, with transition $S^1 \wedge S^n \overset{\sim}{\longrightarrow} S^{n+1}$ and stable homotopy groups are stable homotpy groups of spheres. You can show that

$$\mathbf{SH} = \left < \left< \mathbb{S} \right>\right >.$$

Hence you can view every spectrum as a module over the sphere spectrum (and this is indeed the right way in the sense that: the category $\mathbb{SH}$ is not à priori a tensor category, to get a tensor structure you have to work with symmetric spectra, i.e. spectra with action of symmetric groups, and prove that two stable categories are equivalent and symmetra have $\otimes$ and $\underline{\operatorname{Hom}}$ moviated from the way of thinking every spectrum is a module over $\mathbb{S}$) and the triangulated subcategory formed by compact objects is $\left< \mathbb{S} \right>^{ct}$. The condition

$$\operatorname{Hom}(\mathbb{S}[n],B) = 0 \Rightarrow B = 0.$$ is in some sense equivalent to saying that for a CW-complex or simplicial set $X$, if $\pi_n(X)=0$ then $X=\bullet$ (Whitehead's theorem). Here comes to another subtle point; why these two worlds are so similar? The answer lies in the Dold-Kan correspondence theorem, basically it says that the category of chain complexes of $\mathbb{Z}$-modules is equivalent to the category of simplicial abelian groups. This equivalence maps homotopy groups to homology groups so that you can say homology groups are homotopy groups. The homotopy groups of $R[n]$ behaves like the homology of $S^n$ (concentrated at degree $0$ and $n$).

 

In summary,

• Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are stable model categories, and hence triangulated ones. Moreover, they are all tensor triangulated category.
• Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are compactly generated with a single generator.
• Another example that I can provide is that derived category of $\mathcal{O}_X$-module, the single generator is $\mathcal{O}_X$ itself.

It is likely to define

$$D^b(X) = \left < \left< \text{a single generator} \right> \right>,$$

where we have to specify the generator. A naive guess is the constant sheaf on $X$, but this isn't enough, as you'd like to have Poincaré duality, you have to add Tate twist into the play. Therefore, the definition should be: $D^b_{ctf}(X)$ as the smalles full triangulated subcategory stable under direct factors of $D^b(X)$ generated by objects of the form

$$f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d]$$ where $f: Y \longrightarrow X$ is smooth of relative dimension $d$, i.e. 

$$D^b(X) = \left < \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right> \right> \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ D^b_{ctf}(X) =  \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right>^{ct}$$

Actually, this should be true though I couldn't find a reference but by this tag on StackProject, a "weaker" result holds, where we change triangulated categories to abelian categories, namely, the category of constructible sheaves of abelian groups is the smallest full subcategory of the category of sheaves of abelian groups contaning objects of the form $j_!\mathbb{Z}/n$ (with $j: U \longrightarrow X$ being étale, aka smooth of relative dimension $0$ $\Rightarrow$ no need to consider Tate twist) and closed under finite limits and colimits.

 

But this is the way people nowadays define constructible motives. For instance, in motivic homotopy theory where we offen work with the stable homotopy category $\mathbf{SH}(X)$ of Voevodsky (has small direct sums like $D^b(X)$) in which such a nice representation like a perfect complex is not available then this way of definining constuctible seems to be an appropriate way (and much easier to work with).

Với cái định nghĩa trace như thế này thì ở chỗ nào ta dùng điều kiện constructible của $\mathcal{F}$ nhỉ? Vì tớ tưởng ta chỉ có thể dùng function-sheaf dictionary cho complexes of constructible sheaves. 

Chỗ này theo tớ không thật sự dùng constructible, constructible là về mặt cohomology.

 

Edit: tớ hiểu ý cậu rồi, tớ đoán là cậu đang hiểu function-sheaf dictionary cho constructible sheaves rồi extend cho complex, từ sheaves lên complexes of sheaves thì mình dùng tổng đan dấu của các cohomology (giống kiểu Euler-characteristic).

Bằng có biết làm thế nào để định nghĩa smooth $\ell$-adic sheaves as complexes không? Có cảm giác cái này sẽ tương đương với smooth functions $X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$, nhưng như thế nào mới được coi là smooth từ $X(k)$?

 

Như vậy là cái tên "etale-$\mathbb{Q}_{\ell}$-sheaves" tương đương với local system/locally constant sheaves?

Hi Toàn, cái chữ smooth này thực ra rất nguy hiểm. Nó không phải smooth theo nghĩa function $X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l$, mà tớ cũng không rõ lý do thật sự họ dùng chữ smooth.

 

Về định nghĩa, ta phải quay lại định nghĩa bó $l$-adic trên một lược đồ noether $X$, được định nghĩa là một họ $(F_n)$ sao cho mỗi bó $F_n$ là bó các $\mathbb{Z}/l^n$-module sao cho $F_{n+1} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^{n} \simeq F_n$. Gọi một bó $l$-adic là constructible nếu mỗi bó $F_n$ đều là constructible và gọi là smooth nếu nó locally constant.

 

Còn nếu cậu muốn xem nó như các complex thì thực chất cậu đang muốn định nghĩa derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$. Nó được định nghĩa là "giới hạn" (theo nghĩa nào đó)

$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$

của các derived categories theo nghĩa thông thường, ở đây $D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ là derived cat của các phức có bó đối đồng điều là constructible và ta yêu cầu nó đẳng cấu với một $\mathbb{Z}/l^n$-flat complex. Nếu muốn chuyển qua $\mathbb{Q}_l$-sheaves $D^b_c(X,\mathbb{Q}_l)$ thì ta chỉ "tensor hình thức" mọi thứ với $\mathbb{Q}_l$. Cụ thể hơn, định nghĩa projective limit ở trên phải hiểu theo nghĩa sau (tớ chỉ nói về objects)

 

Objects: Một object của $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$ sẽ là một projective system $(K_n^{\bullet})$ sao cho mỗi $K_n^{\bullet} \in D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ sao cho có các quasi-isomorphism $K^{\bullet}_{n+1} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^n \simeq K^{\bullet}_n$ bên trong $D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n)$.

 

Mọi thứ phức tạp hơn một chút nữa nếu muốn $\overline{\mathbb{Q}}_l$, nhớ rằng bao đóng đại số thì là giới hạn của các mở rộng hữu hạn $E/\mathbb{Q}_l$. Nên một cách tự nhiên ta sẽ định nghĩa

$$D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l) = \underset{\longrightarrow}{\lim} D^b_{c}(X,E)$$

trong đó $D^b_c(X,E)$ được định nghĩa giống hệt với $D^b_c(X,\mathbb{Q}_l)$ (nhớ rằng $E$ cũng là local field) nên thay vì $l$-adic ta sẽ nói tới $\pi$-adic với $\pi$ là uniformizer nào đó.

 

Cuối cùng giả sử $(F_n)$ là một bó $l$-adic (technical condition: torision free in some Artin-Rees category) thì $(F_n)$ sẽ định nghĩa một vật trong $D^b(X,\mathbb{Z}_l)$ bằng cách xem các $F_n$ là các complex concentrated at degree zero. Như vậy chuyển qua giới hạn thì mỗi $l$-adic sheaf cho ta một $E$-sheaf ($E/\mathbb{Q}_l$: finite extension) và một $\overline{\mathbb{Q}}_l$-sheaf.

Fourier analysis on finite abelian groups

Given a finite abelian group $G$, written additively, what we want to do here is to define a space $L^2(G)$ similar to the Hilbert space $L^2(X)$ of square integrable functions $X \longrightarrow \mathbb{C}$ (modulo equal almost everywhere relation) for $X$ being a measurable space. Then it is possible to develop a Fourier transform on $L^2(G)$. The finiteness seems to be a technical condition that you can see to be useful in every step. At least with this hypothesis, we do not to worry about the convergence of sums. We do not go into the "Hilbert theory" of $L^2(G)$ deeply but rather go straight to the Plancherel formula and Fourier inverse formula and see how it can be generalized to $l$-adic cohomology.

 

We define a character of $G$ to be a group homomorphism $\psi: G \longrightarrow (\mathbb{C}^{\times},\times)$. We call it trivial if $\psi(x) = 1$ for each $x \in G$. Since $G$ is finite, every $\psi(x)$ ($x \in G$) is a root of unity. In particular, every character takes values in the circle $S^1$.

 

If $G = \mathbb{F}_{p}$, a field with $p$ elements, then $\psi(x) = e^{2\pi i x/p}$ is a character.

If $\psi$ is a character, then $\overline{\psi}$. They are different if $\psi$ is not identical to $1$. Note that 

$$\psi(-x) = \psi(x)^{-1} = \overline{\psi(x)}$$ since it lies on $S^1$.

If $\psi,\varphi$ are characters, then $\psi\varphi$ is a character as well.

If $\psi$ is a non-trivial character of $G$, then $\sum_{x \in G}\psi(x)=0$.

Proof. Since $\psi$ is non-trivial, there exists $y \in G$ with $\psi(y) \neq 1$. We have

$$\psi(y)\sum_{x \in G}\psi(x) = \sum_{x \in G}\psi(x+y) = \sum_{x \in G}\psi(x)$$ and hence the sum itself is zero because $\psi(y) \neq 1$.

Let $\psi$ and $\varphi$ be characters of $G$. Then 

$$\sum_{x \in G}\overline{\psi(x)}\varphi(x) = \begin{cases} \left|k \right| & \psi = \varphi \\ 0 & \psi \neq \varphi \end{cases}$$

Proof. If $\psi = \varphi$, then it is the consequence of the fact $\psi(x)^{-1} = \overline{\psi(x)}$ while if $\psi \neq \varphi$ then $\overline{\psi}\varphi$ is a non-trivial character, hence it follows from proposition 4.

 

Now we work in the case where $G = k$ is a finite field, then we have a, being motivated from the classical case

$$\hat{f}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-2\pi i xy} dy$$

we define the Fourier transform

$$\begin{align*} T_{\psi}f: k & \longrightarrow \mathbb{C}^{\times} \\ x & \longmapsto  \sum_{y \in k}f(y)\psi(-xy).\end{align*}$$ The Fourier transform is clearly linear, i.e. $T_{\psi}(f+g) = T_{\psi}(f) + T_{\psi}(g)$ and $T_{\psi}(af) = aT_{\psi}(f)$. The Fourier inversion formula in this case becomes almost trivial.

 

(Fourier inverse). We have

$$T_{1/\psi}(T_{\psi}f) = \left|k \right|f$$

Proof. We compute the LHS explicitly

$$\begin{align*}T_{1/\psi}(T_{\psi}f)(x) & =  \sum_{y \in k}T_{\psi}(f)(y)\overline{\psi}(-xy) \\ & = \sum_{y \in k}\left(\sum_{z \in k}f(z)\psi(-yz) \right)\overline{\psi}(-xy)  \\ & = \sum_{y,z \in k} f(z)\psi(y(x-z)) \\ & = \sum_{z \in k}f(z)\left(\sum_{y \in k}\psi(y(x-z))  \right) \\ & = \left|k \right|f(x) \end{align*}$$ thanks to corollary 5.

 

We can endorse the vector space $\mathbb{C}^k$ of functions $k \longrightarrow \mathbb{C}$ with an inner product

$$\left< f, g \right>  = \sum_{x \in k}\overline{f(x)}g(x)$$ then we have an analogue of the usual Plancherel formula.

 

(Plancherel formula). For functions $f,g: k \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ and a character $\psi:k \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$

$$\left<T_{\psi}f, T_{\psi}g\right> = \left|k \right|\left <f,g \right >$$

Proof. We expand everything $$\begin{align*}\left<T_{\psi}f, T_{\psi}g\right> & = \sum_{x \in k}\overline{T_{\psi}f(x)}T_{\psi}g(x) \\ & =  \sum_{x \in k}\left( \sum_{y \in k}\overline{f(y)}\psi(xy) \right)\left( \sum_{z \in k}g(z)\psi(-xz) \right) \\ & = \sum_{x,y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\psi(x(y-z)) \\ & = \sum_{y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\left(\sum_{x \in k}\psi(x(y-z)) \right). \end{align*}$$ We analyze the sum $\sum_{x \in k}\psi(x(y-z))$.

• If $y = z$ then this sum is $\left|k \right|$.
• If $y \neq z$ then this sum is zero by proposition 4.

Hence  

$$ \sum_{y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\left(\sum_{x \in k}\psi(x(y-z)) \right) = \sum_{y \in k }\left|k \right|\overline{f(y)}g(y) = \left|k \right| \left<f,g \right>.$$ We are now able to motivate the definitions in the $l$-adic cohomology.

 

l-adic Fourier transform

 

We restrict ourself to the definition of something called $l$-adic Fourier transform on the affine line $\mathbb{A}^1_k$ where $k$ is a finite field. More precisely, we want to define some operator

$$T_{\psi}: D_c^b(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) \longrightarrow  D_c^b(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$$ associated to any character $\psi: k\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ and is forced to satisfy the Fourier inverse formula and the Plancherel formula. To do this, we have to have some sheaf-to-functions correspondence, for each variety $X/k$, naturally, we have the following: for any $K \in D_c^b(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$

$$\begin{align*} f^K: k & \longrightarrow \mathbb{C} \\ x & \longmapsto \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}},K_{\overline{x}}) = \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}},\mathscr{H}^i(K)_{\overline{x}}) \end{align*}$$ where $\mathscr{H}^i$ denote cohomological sheaves, which are assumed to be constructible.

 

Given any character $\psi: k  \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$, one then has a local system of rank $1$ from the composition 
$$\mathcal{L}_{\psi}: \pi_1(\mathbb{A}_k^1) \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$$ denoted $\mathcal{L}_{\psi}$, called the Artin-Schreier sheaf of $\psi$. We claim that

 

$f^{\mathcal{L}_{\psi}}(x) = \psi(-x)$. 

The next thing is how can we translate operations of functions to operations of sheaves:

• (Product formula) The product of functions should correspond to tensor product of sheaves: $f^{K \otimes L}(x) = f^K(x)f^L(x)$ for every $x \in X(k)$
• (Pullback formula) Pullback of functions should correspond to pullback of functions, which is just composition $f^{f^*K}(x) = f^K(f(x))$ for every morphism $f: X \longrightarrow Y$ of $k$-varieties and $x \in X(k)$.
• (Sum formula) Proper pushforwards should correspond to taking sums or integrals: this is a consequence of Grothendieck-Lefschetz trace formula and proper base change theorem. For every morphism $f: X \longrightarrow Y$ of $k$-varieties and $K \in D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$, we have $$f^{f_!K}(y) = \sum_{x \in X_y(k)}f^K(x)$$ for any $y \in Y(k)$.

Consider the diagram

\begin{xy}

\xymatrix{

& \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[rr]^m \ar[dr]^{\pi^2} \ar[dl]_{\pi^1} & & \mathbb{A}^1 \\

 \mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1 &

}

\end{xy}

where $\pi^1$ are projections and $m$ the multplication $(x,y) \longmapsto xy$. The $l$-adic Fourier transform is defined to be

$$\begin{align*} T_{\psi}: D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) & \longrightarrow D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) \\ K & \longmapsto \pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})[1] \end{align*}$$ where the shift $[1]$ is put in order to preserve the perversity, which is not of our interest here. The sheaf $m^*\mathcal{L}_{\psi}$ plays the role of the character $\psi(-xy)$ in the formula

$$T_{\psi}f(x) =  \sum_{y \in k}f(y)\psi(-xy).$$ We prove that our definition is really a sheaf-theoretic version of the discrete Fourier transform (up to a sign).

 

$f^{T_{\psi}(K)}(x) = - \sum_{y \in k} f^K(y)\psi(-xy)$ for any $x \in k$ and $K \in D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$.

 

Proof. By the last part of our remark above, we have (we delete the shift since it is irrelevant here)

$$\begin{align*} f^{T_{\psi}(K)}(x) & =  \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}\bigg(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}}, \mathscr{H}^i\big( \pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})_{\overline{x}} \big) \bigg) \\ & =  - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})) \\ &  =- \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K) \otimes \mathscr{H}^i( m^*\mathcal{L}_{\psi})) \\ & = - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i( m^*\mathcal{L}_{\psi}))  \\& =    - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \psi(-xy) \\ & = - \sum_{y \in k} \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \psi(-xy) \\ & = - \sum_{y \in k} f^K(y)\psi(-xy) \end{align*}$$ where we have used:

• The sum formula for $\pi^1: \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \longrightarrow \mathbb{A}^1$ in the first equality.
• In the second one, homology commutes with tensor product.
• In the third one, we applied the product formula. 
• In the rest, we applied the pullback formula and lemma 8. 

Let us now verify the Plancherel formula before the Fourier inverse formula (which is more complicated). 

 

 

(Plancherel). We have

$$\left<f^{T_{\psi}(K)},f^{T_{\psi}(L)}\right> = \left|k \right|\left<f^K,f^L\right> \ \forall \ K,L \in D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$$

Proof. This is just a formal manipulation based on lemma 6 and proposition 3.

 

(Fourier inverse). We have

$$T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K = K(-1)$$ where $(-1)$ denotes the Tate twist.

 

For this result, we need an auxiliary lemma, omitted proof, but can be understood heuristically as the Fourier transform of the canonical character equals the dirac delta function.

 

Let $i: 0 \hookrightarrow \mathbb{A}^1$ be the canonical closed immersion, then $i_*\overline{\mathbb{Q}}_l = \delta$ is the skyscraper sheaf at the origin, we then have

$$T_{\psi}(\overline{\mathbb{Q}}_l[1]) = \delta(-1).$$

. The occurence of Tate twist here is understandable because it corresponds to multiplying $1/2\pi$ in the formula

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ixy}dy$$

Proof of Fourier inverse. Let's consider the diagram, in which the square is cartesian

 

\begin{xy}
\xymatrix {
&  & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[dr]^{\pi^{23}} \ar[dl]_{\pi^{13}} &  & \\
                       & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1  \ar[dl]_{\pi^1} \ar[dr]^{\pi^2} & & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[dl]_{\pi^1} \ar[dr]^{\pi^2}& \\

\mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

 

and define $\alpha: \mathbb{A}^3 \longrightarrow \mathbb{A}^2$ by $(x,y,z) \longmapsto (x,y-z)$, then

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K & = \pi^1_!\bigg(\pi^{2*}\big(\pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi}\big) \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \bigg)[2] \\ & = \pi^1_! \bigg( \pi_!^{12}\pi^{23*}\big( \pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi} \big) \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \bigg)[2] &  \text{proper base change} \\ & =\pi^1_! \pi_!^{12}\big( \pi^{23*}\pi^{2*}K \otimes \pi^{23*}m^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes \pi^{12*}m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \big)[2] &  \text{projection formula} \\ & =  \pi^1_! \pi_!^{12}(\pi^{23*}\pi^{2*}K \otimes \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \text{by the last lemma below} \\ & = \pi^1_! \pi_!^{13}(\pi^{13*}\pi^{2*}K \otimes \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] &  \pi^1 \pi^{12} = \pi^1\pi^{13} \ \text{and} \ \pi^2 \pi^{23} = \pi^2\pi^{13} \\ & = \pi^1_! (\pi^{2*}K \otimes \pi_!^{13}\alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \text{projection formula}\end{align*}$$  Consider the cartesian diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{A}^3 \ar[r] \ar[d]_{\pi^{13}} \ar[r]^{\alpha} & \mathbb{A}^2 \ar[d]_{\pi^2} \\
                             \mathbb{A}^2 \ar[r]_{\beta}  &  \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

where $\beta(x,z) = z-x$, then by base change we get

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K &  = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*\pi^2_!m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*T_{\psi}\overline{\mathbb{Q}}_l[-1])[2] & \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*i_*\overline{\mathbb{Q}}_l(-1)[-2])[2] & \text{previous lemma} \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*i_*\overline{\mathbb{Q}}_l)(-1) \end{align*}$$ But the square

 

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{A}^1 \ar[r] \ar[d]_{\Delta} & 0 \ar[d]_i \\
                             \mathbb{A}^2 \ar[r]_{\beta}  &  \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

 

is cartesian, where $\Delta$ is the diagonal, note that $i$ is proper so by base change again, we have

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K & = \pi^1_!(\pi^{2*}K\otimes \Delta_!\overline{\mathbb{Q}}_l(-1)) & \\ & = \pi_!^!\Delta_!(\Delta^*\pi^{2*}K\otimes \overline{\mathbb{Q}}_l(-1)) & \text{projection formula} \\ & = K(-1) & \pi^1\Delta = \mathrm{id} \ \text{and} \ \pi^2 \Delta = \mathrm{id} \end{align*}$$ as desired.

 

We finish the proof by proving the following.

 

The following holds

$$\pi^{12*}(m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}}) \otimes \pi^{23*}(m^*\mathcal{L}_{\psi}) = \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi}.$$

Proof. Set $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(k[t])$ and $\mathbb{A}^3 = \mathrm{Spec}(k[x,y,z])$ and considre

$$X = \mathrm{Spec}(k[x,y,z,u,v]/(u^{\left|k \right|}-u-xy,v^{\left|k \right|}-v-yz)) \longrightarrow \mathbb{A}^3$$ which is a Galois covering whose group of Deck transformations is isomorphic to $k \times k$. There are three projections of $X$ onto $\mathbb{A}^1$ given by

$$t \longmapsto u, t \longmapsto v-u, t \longmapsto v.$$ We view $\mathbb{A}^1$ as a scheme over itself by Artin-Schreier morphism, then the three morphisms above induce homomorphisms of groups of deck transformations

$$k \times k \longrightarrow k$$ given respectively by

$$(a,b) \longmapsto a, (a,b) \longmapsto b - a, (a,b) \longmapsto b.$$ We compose the original character $\psi$ with these three morphisms to get three new characters

$$\pi_1(X) \longrightarrow k \times k \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \mathbb{C}^{\times}.$$ The three new characters correspond to the sheaves involved in the equation

$$\begin{align*} \pi^{12*}m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} &\longrightarrow   \psi_1(a,b) = 1/\psi(a) \\ \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi} & \longrightarrow \psi_2(a,b) = \psi(b)/\psi(a) \\ \pi^{23*}m^*\mathcal{L}_{\psi} & \longrightarrow \psi_3(a,b) = \psi(b) \end{align*}$$ then the question boils down to the trivial fact that $\psi_1\psi_3=\psi_2$.