Mình có một số bài tập môn tô-pô đại cương đăng lên để mình và các bạn cùng giải. Đây là phần chuẩn bị cho môn condensed math mà mình đang học. Post đầu tiên về không gian Hausdorff. Nhắc lại một số kiến thức.
- Không gian tô-pô gọi là $T_1$ (Frechet) nếu mọi điểm đều đóng.
- Không gian tô-pô gọi là $T_2$ (Hausdorff) nếu mọi cặp hai điểm đều tách được bởi các lân cận.
- Không giân tô-pô gọi là $T_4$ nếu mọi cặp hai tập đóng rời nhau đều tách được bởi các lân cận.
- Không gian tô-pô gọi là chuẩn tắc nếu nó $T1+T4$ (cũng tương đương $T2+T4$).
Bài 1. Chứng minh các khẳng định sau.
- a) Một không gian con (với tô-pô cảm sinh) của không gian Hausdorff là không gian Hausdorff.
- b) Cho $(X_i)_{ i\in I}$ là một họ các không gian tô-pô khác rỗng, tích $\prod_{i \in I} X_i$ là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi $X_i$ là Hausdorff.
- c) Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một hệ xạ ảnh các không gian tô-pô, chứng minh rằng nếu mỗi $X_i$ Hausdorff thì $\varprojlim X_i$ là Hausdorff.
- d) Cho ví dụ chứng tỏ rằng $\varinjlim X_i$ nói chung không Hausdorff ngay cả khi mỗi $X_i$ Hausdorff.
Lời giải:
Bài 2. Cho $\pi \colon X \longrightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục + toàn ánh giữa hai không gian tô-pô. Giả sử $\pi$ đóng (ảnh của tập đóng là đóng). Chứng minh nếu $X$ là $T_1$ hoặc $T_4$ thì $Y$ có tính chất tương ứng. Nói riêng nếu $X$ chuẩn tắc thì $Y$ là Hausdorff.
Lời giải:
Bài 3. Chứng minh rằng không gian tô-pô $X$ là Hausdorff khi và chỉ khi ánh xạ đường chéo $\Delta \colon X \longrightarrow X \times X, x \longmapsto (x,x)$ là ánh xạ liên tục đóng.
Lời giải:
Bài tập dưới đây nâng cao hơn một chút, nhắc lại một số kiến thức: cho $\mathcal{C} \subset\mathcal{D}$ là một phạm trù con đầy đủ, ta gọi $\mathcal{C}$ là phản xạ (refletive) trong $\mathcal{D}$ nếu hàm tử nhúng $\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{D}$ nhận một liên hợp trái.
Bài 4. Chứng minh rằng phạm trù các không gian tô-pô Hausdorff là một phạm trù con phản xạ của phạm trù các không gian tô-pô.
Lời giải:
Gợi ý: sử dụng định lý liên hợp hàm tử của Frey và bài tập số 1).