ongngua97

Giải bất phương trình:

$2\sqrt{3x^4+x^3}+13(x-\frac{1}{2})^2\geq \frac{29}{4}+2(x-1)\sqrt{x+7x^2}$

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix}

\end{matrix}\right.$

Điều kiện cần là (9 -10a+2a2) và 1-a(a-6) là số chính phương, thử các th a=1,2,3,4 thấy là đúng => chọn 4.

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.

Giải $1$ bài cũng được.

Bạn nên viết tay rồi gửi đến 187B Giảng Võ, Hà Nội ( Qua đường bưu điện)

Nếu không thì bạn viết cách giải ở Word rồi gửi qua email của Báo ấy. 

Bạn có chắc là gởi mail được k vậy?

Cho a,b,c>1.cMR:$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{3}$

Bài toán sai khi cho a=1.1, b=c=2

Bạn nào có báo Toán học tuổi trẻ số 439 tháng 1 không, up lên giùm mình với.Chụp ảnh cũng được. Cảm ơn nhiều.

Cho a,b,c>0 thoả abc=1

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$.
a) Chứng minh tứ giác $CDEF$ là một tứ giác nội tiếp.
b) Kéo dài $DE$ cắt $AC$ ở $K$. Tia phân giác của góc $CKD$ cắt $EF$ và $CD$ tại $M$ và $N$. Tia phân giác của góc $CBF$ cắt $DE$ và $CF$ tại $P$ và $Q$. Tứ giác $MPNQ$ là hình gì ? Tại sao?
 

a, Ta có $\angle BED=\angle BAD$ (cùng chắn cung nhỏ BD)

          $\angle BAD=\angle ACB$ ( cùng phụ với $\angle ABC$ )

$\Rightarrow \angle BED=ACB$ nên tứ giác CDEF nội tiếp.

b. Xét 2 tam giác : $\Delta BPE, \Delta BQC$ có:

$\angle PBE=\angle PBC$ ( do BP là phân giác $\angle DBE$)

$\angle BEP=\angle BCQ$ (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow \Delta BPE\sim BQC$

$\Rightarrow \frac{BE}{PE}=\frac{BC}{QC}$

Mà BP là phân giác $\angle DBE, \angle CBF$ 

Nên $\frac{BD}{DP}=\frac{BE}{PE}=\frac{BC}{CQ}=\frac{BF}{FQ}$

Do đó $\Delta BDP\sim BFQ$ ( Do có $\angle BDE=\angle BFQ$ vì DEFC nội tiếp)

$\Rightarrow \angle KPQ=\angle BPD=\angle KQB$ nên $\Delta KPQ$ cân tại K

$\Rightarrow$ KN vuông góc và đi qua trung điểm PQ ( Do KN là phân giác $\angle PKQ$ 

Tương tự PQ vuông góc và đi qua trung điểm MN

Vậy MNPQ là hình thoi.

Mình làm thế này không biết có đúng không, nhờ các bạn xem giùm.

Ta có:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b$   vì abc=1

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq bc\geq ca & \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:

$3(a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b)\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Không đúng vì không thể giả sử $a\geq b\geq c$ vì BĐT trên hoán vị chứ không đối xứng.

áp dụng bđt AM-GM ta có  : $\frac{a^{2}}{b}+a^{2}b\geq 2a^{2}$

chứng minh  ta có  : $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a^{2}b\geq \sum 2a^{2}$

 ta chỉ cần chứng minh :  $\sum a^{2}b\leq \sum a^{2}$ (1)

ta có

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (2)

giả sử (1) đúng , từ (1)(2) suy ra

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq 2\sum a^{2}b$ (3)

mà ta có

áp dụng bđt AM-GM 

$a^{3}+ ab^{2}\geq 2 a^{2}b$

 chứng minh tương tự suy ra (3) đúng

do (3) đúng nên suy ra (1) đúng

vậy được đpcm

Cách chứng minh của em là không đúng, pp của em có lẽ là biến đổi tương đương để được bđt đúng nhưng khi nhân (2) với (3) là mệnh đề kéo theo chứ k phải tương đương.

Cho a,b,c>0 thoả abc=1

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$

Cho x,y,z>0

Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức :

$P=\frac{x^2y}{z^3}+\frac{y^2z}{x^3}+\frac{z^2x}{y^3}+\frac{4xyz}{xy^2+yz^2+zx^2}$

P/s: không biết có ai có cách hay hơn cho bài này không.    

Cho a, b, c>0. BĐT sau có đúng không?

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

BĐT sai với a=0.01; b=3; c=5.