Supermath98

Giải hệ phương trình

 

 

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+(y^2-2y-2)\sqrt{x^2+2}-y^2+2y+4=0 & \\ x+\sqrt{x(y^2-6x+10)}=\sqrt[3]{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}+2 & \end{matrix}\right.$

Ta có: 

$\large pt1\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)+(y^{2}-2y-2)\sqrt{x^{2}+2}=y^{2}-2y-2+2 \\ \\ \Leftrightarrow 2(\sqrt{x^{2}+2}-1)(\sqrt{x^{2}+2}+1)+(y^{2}-2y-2)(\sqrt{x^{2}+2}-1)=0\\ \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2}-1)(y^{2}-2y-4+2\sqrt{x^{2}+1})=0$

Giải phương trình

$(x+4)\sqrt{x+5}-8\sqrt{x}=x\sqrt{x}$      (1)

*ĐKXĐ: $x\geq 0$

Ta có: $\large (1)\Leftrightarrow (x+4)(\sqrt{x+5}-3)+3x+12-8\sqrt{x}-(\sqrt{x})^{3}=0\\ \Leftrightarrow (x-4).\frac{x+4}{\sqrt{x+5}+3}+(2-\sqrt{x})(x-\sqrt{x}+6)=0\\ \Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow x=4$

GIải BPT

$\large 8x^{3}-2x\geq (4+\sqrt{x-1})(x+14+8\sqrt{x-1})\hspace{5mm}(1)$

Mình vừa tìm được 1 cách giải này:

Ta có: 

$\large (1)\Leftrightarrow (2x)^{3}-2x\geq (4+\sqrt{x-1})(x+14+8\sqrt{x-1})\\ \Leftrightarrow (2x)^{3}-2x\geq \left ( 4+\sqrt{x-1} \right )^{3}-(4+\sqrt{x-1})$

Xét hàm số: $\large f(t)=t^{3}-t$ trên $\large \left ( 1;+\infty \right )$

Xem hàm số: $\LARGE \LARGE y=f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\hspace{5mm}(C)$

Giả sử điểm M có tọa độ $\LARGE M(x_{0};y_{0})$

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại điểm M có phương trình: 

$\LARGE y=f'(x_{0}).(x-x_{0})+y_{0}= (3x_{0}^{2}-12x_{0}+9).x+A\\ \Leftrightarrow (3x_{0}^{2}-12x_{0}+9).x-y+A=0\hspace{5mm}(d)$

Góc tạo bởi (d) và ($\Delta$) là góc $\LARGE \alpha$ có $\LARGE cos\alpha =\frac{4}{\sqrt{41}}$

$\LARGE \LARGE \Leftrightarrow \frac{\left | (3x_{0}^{2}-12x_{0}+9).1-1.1 \right |}{\sqrt{(3x_{0}^{2}-12x_{0}+9)^{2}+1^{2}}.\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{41}}\\ \\ \Leftrightarrow \frac{(3x_{0}^{2}-12x_{0}+8)^{2}}{(3x_{0}^{2}-12x_{0}+9)^{2}+1}=\frac{32}{41}$       (*)      (bình phương 2 vế ạ)

Đặt $\LARGE 3x_{0}^{2}-12x_{0}+8=t$

Khi đó phương trình (*) trở thành: 

$\LARGE \frac{t^{2}}{(t+1)^{2}+1}=\frac{32}{41}\\ \Leftrightarrow 9t^{2}-64t-64 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{-8}{9} & & \\ t=8 & & \\ \end{bmatrix}$

Đến đây thay t lên chỗ đặt và giải ra $\LARGE x_{0}$

Giải hệ phương trình sau 

$\left\{\begin{matrix} xy+2=y\sqrt{x^2+2} & \\ y^2+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=2x^2-4x & \end{matrix}\right.$

Ta có: $pt1\Leftrightarrow y\left ( \sqrt{x^{2}+2}-x \right )=2\Leftrightarrow y=x+\sqrt{x^{2}+2}$

Thế vào phương trình 2 ta được $x+x\sqrt{x^{2}+2}=\left ( -x-1 \right )+\left ( -x-1 \right )\sqrt{\left ( -x-1 \right )^{2}+2}$

Đến đây đã xuất hiện hàm đặc trưng