Supermath98

Cho 3 số thức dương a;b;c thỏa mãn a+b+c=1 và a+b>2c.

Tìm MIN: 

$\large P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}$

CHo a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ac=1$

CMR                 $\large a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)}$

GIải BPT

$\large 8x^{3}-2x\geq (4+\sqrt{x-1})(x+14+8\sqrt{x-1})$

$\large \large \left\{\begin{matrix} y(\sqrt{x+6}-y)=6-\sqrt{6(y^{2}-x)} \hspace{5mm}(*)& & \\ 2+x+\sqrt{x(y^{2}-10)+3}=\sqrt[3]{x^{2}(y^{2}-1)+16x+5} \hspace{5mm}(**)& & \end{matrix}\right.$

GIẢI:

*ĐKXĐ: $\large \left\{\begin{matrix} x\geq 6 & & & \\ y^{2}\geq x & & & \\ x\left ( y^{2}-10 \right )+3\geq 0 & & & \end{matrix}\right.$

 Nếu $\large \sqrt{x+6}+y=0\rightarrow y\leq 0\rightarrow VT_{(*)}\leq 0$

Mặt khác: $\large x\geq -6\Rightarrow y^{2}-x\leq y^{2}+6\rightarrow VP_{(*)}\geq 0$

Do đó: $\large VT_{(*)}=VP_{(*)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-6 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

Thế vào (**) không thỏa mãn. 

Vậy $\large \sqrt{x+6}+y\neq 0$

Khi đó ta có: $\large (*)\Leftrightarrow \frac{y\left ( x-y^{2}+6 \right )}{\sqrt{x+6}+y}=\frac{6\left ( 6-x+y^{2} \right )}{6+\sqrt{6\left ( y^{2}-x \right )}}$

$\large \Leftrightarrow (x-y^{2}+6)(\frac{y}{\sqrt{x+6}+y}+\frac{6}{6+\sqrt{6(y^{2}-x)}})=0\Leftrightarrow y^{2}=x+6$

Thế vào phương trình (**) ta được phương trình: 

$\large 2+x+\sqrt{x^{2}-4x+3}=\sqrt{x^{3}}+5x^{2}+16x+5\\ \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-4x+3}=\frac{-x^{2}+4x-3}{M}$    (1)

Với $\large M.(\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}+16x+5}-x-2)=-x^{2}+4x-3$ và M>0 

$\large (1)\Leftrightarrow (x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}+\frac{1}{M})=0 \\ \Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & & \\ x=3 & & \end{bmatrix}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm của hệ phương trình là $\large S=\left \{ (1;-\sqrt{7});(1;\sqrt{7});(3;3);(3;-3) \right \}$

Cho các số thực a;b;c thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a;b;c\in \left [ 1;2 \right ] & & \\ a+b+c\leq 4 & & \end{matrix}\right.$

CMR: $\sum \frac{a}{bc+2}> \frac{2}{3}$