nguyentrungphuc26041999

Phải là $n^{4}$ mới đúng chứ nhỉ

đề nó ghi như thế ông ạ

đây là 1 hệ đối xứng vô cùng quen thuộc bạn chỉ cần đặt y+1=z là giải dc dễ dàng( bằng cách trừ 2 vế của 2 pt)

viết ra đi

Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$ 

bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$

$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$

$\frac{a}{c}+1\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$

cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm

Giải như sau:
Để A nguyên thì $\sqrt{12n^2+1}$ nguyên suy ra $12n^2+1$ là số chính phương.
Đặt $12n^2+1=a^2$ như vậy $12n^2=(a-1)(a+1)$
Dễ thấy $(a-1)(a+1)$ chia hết cho 12 suy ra $(a-1);(a+1)$ cùng chẵn nên đặt $a-1=2x,a+1=2y$ <2>
Nhưng lại thấy $gcd(a-1,a+1)=1,2$ mà chúng cùng chắn nên $gcd(a-1,a+1)=2$ do vậy $gcd(x,y)=1$ <1>
Do vậy $3n^2=xy$
Th1: $x$ chia hết cho 3 suy ra theo <1> thì $y$ không chia hết cho 3
Đặt $x=3k$ cũng suy ra $gcd(k,y)=1$ và $n^2=ky$ sở dĩ k,y nguyên tố cùng nhay suy ra mỗi số là chính phương
Do vậy $n^2=p^2.q^2;k=p^2,y=q^2$ như vậy theo <2> thì $a=2q^2-1$
Như vậy $A=2+\sqrt{12n^2+1}=2+2a=4q^2$ là số chính phương $đpcm$
Th2: $y$ chia hết cho 3 suy ra $y=3t$ và xét tương tự như trên.
Vậy ta có bài toán được chứng minh hoàn toàn

không tương tự cho lắm anh ạ

Chào mọi người, ắt hẳn diendantoanhoc.net ta không thể không biết đến cuốn Sáng tạo BĐT của anh PKH (hungkhtn). Trước đây đã có bản file tập 1(về cả Tiếng Anh lẫn Tiếng Việt). Bây giờ xin giới thiệu với mọi người file tập 2 của cuốn này, xuất bản bởi Gil vào năm 2009. Cuốn sách tập 2, Secrets In Inequalities, Advance Inequalities hay hơn tập 1 nhiều, vì nó mới là phần chính của 2 tập.



Download

Đã có:
Secrets in Inequalities I, Nhà xuất bản Gil, 2008. Download (English)

Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri Thức, Hà Nội, 2007. Download. (VIETnamese)

sao không down được,trang có vấn đề à Toàn