Đến nội dung


mathbg

Đăng ký: 05-04-2013
Offline Đăng nhập: 22-04-2015 - 18:35
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $c)\left\{\begin{matrix} x^{3...

12-01-2015 - 19:15

c) Áp dụng bđt cô-si ta có:

$3 = y(x^3+2) = y(x^3+1+1) \ge 3xy \leftrightarrow 1 \ge xy$

$3xy^3 = 2y^3+1 = y^3+y^3+1 \ge 3y^2 \leftrightarrow  xy \ge 1$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$

Đề có cho $x,y$ không âm đâu mà áp dụng AM - GM bạn ơi.


Trong chủ đề: $a^3>b^3+c^3$

06-01-2015 - 12:18

1. Chứng minh bất đẳng thức sau : 

 $\frac{a+b}{ab+c^2}+\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{c+a}{ca+b^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

2. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền . Chứng minh 

                                                               $a^3>b^3+c^3$

3. Cho 3 số không âm $a;b;c$. Chứng minh rằng

                                                  $a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$

Chém hai câu dễ trước

Câu 2: $a^3=a\big( b^2+c^2\big)=ab^2+ac^2>b^3+c^3$.

 

Câu 3: $a^4+b^4+c^4\ge \dfrac{1}{3}\big( a^2+b^2+c^2\big)^2\ge \dfrac{1}{3}\big(a^2+b^2+c^2\big).\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2\ge abc(a+b+c)$.

Vì $a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}, a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$.


Trong chủ đề: $\begin{cases} \sqrt{x-y-1} = 1 \...

05-01-2015 - 23:57

 

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} \sqrt{x-y-1} = 1 \\ y^2+x+2y\sqrt{x} = xy^2 \end{cases}$

 

Điều kiện $x\ge y+1, x\ge 0$. Đặt $z=\sqrt{x}$. Hệ trở thành $\begin{cases} \sqrt{z^2-y-1}=1\\ y^2+z^2+2yz=y^2z^2\end{cases}$

Tương đương với $\begin{cases} y=z^2-2\\ y+z=yz\end{cases}$ $\quad$ hoặc$\quad$ $\begin{cases}y=z^2-2\\ y+z=-yz\end{cases}$

Cả hai hệ này, chỉ cần thay $y=z^2-2$ vào phương trình dưới, được phương trình bậc ba và giải tiếp.


Trong chủ đề: min $\left( {x - y} \right)\left( {y -...

12-12-2014 - 22:53

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$

Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$

Đặt $a=x-y, b=y-z, c=z-x$. Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c$ là các số thoả mãn $a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $abc$.

Giả sử $c=\max\{a,b,c\}$, suy ra $0\le c\le \sqrt2$.

Từ đk1, $a+b=-c$. suy ra $a^2+b^2+2ab=c^2$. Do đó $ab=c^2-1$.

Ta được $abc=(c^2-1)c=c^3-c=f ( c )$.

$f'( c )=3c^2-1=0$ khi và chỉ khi $c=\dfrac{1}{\sqrt3}$ (vì $0\le c\le \sqrt2$ ).

$\min f( c )=f(\frac{1}{\sqrt3})=-\dfrac{2}{3\sqrt 3}$, đạt được tại $c=b=\dfrac{1}{\sqrt 3}, a=-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ và các hoán vị.


Trong chủ đề: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng $ab^2c^3\leq \f...

12-12-2014 - 20:46

Bạn viết rõ hơn một chút được không? Mình vẫn chưa hiểu lắm. Tại sao từ dòng đầu lại suy ra được đpcm vậy??? 

VT $= a+b+c=1$. Luỹ thừa 6 hai vế, chuyển số sang một bên sẽ được đpcm.