Đến nội dung

trauvang97

trauvang97

Đăng ký: 06-04-2013
Offline Đăng nhập: 08-08-2019 - 11:47
***--

#610280 Gõ thử công thức toán

Gửi bởi trauvang97 trong 22-01-2016 - 09:54

Ma trận hệ số của hệ phương trình trên là:

 

$A=\begin{bmatrix} 2 &1 &-1 &3 &-2 \\ 1 &-2 &3 &m &1 \\ 3 &-1 &2 &4 &-1 \end{bmatrix}$

 

$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &-2 &3 &m &1 \\ 2 &1 &-1 &3 &-2 \\ 3 &-1 &2 &4 &-1 \end{bmatrix}$  $(H_2\rightarrow H_1 , H_1 \rightarrow H_2)$

 

$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &-2 &3 &m &1 \\ 0 &5 &-7 &3-2m &-4 \\ 0 &5 &-7 &4-3m &-4 \end{bmatrix}$  $\begin{matrix} (H_2-2H_1\rightarrow H_2)\\ (H_3-3H_1\rightarrow H_3) \end{matrix}$

 

$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &-2 &3 &m &1 \\ 0 &5 &-7 &3-2m &-4 \\ 0 &0 &0 &m-1 &0 \end{bmatrix}$   $(H_3-H_2\rightarrow H_3)$

 

Để không gian nghiệm của hệ đã cho có số chiều bằng 2 thì $rankA=2$ hay $m-1$=0 hay $m=1$

Vậy $m=1$ thỏa mãn điều kiện đề bài




#608331 $a_1;a_2;\dots ;a_n \epsilon [0;1]$.Cm:$\left(1...

Gửi bởi trauvang97 trong 10-01-2016 - 18:59

Cho $a_1;a_2;\dots ;a_n \epsilon [0;1]$. Chứng minh:

$\left(1+a_1+a_2+\dots a_n\right)^2 \geq 4\left(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2\right)$

 

Từ giả thiết ta có: $a_{i}\geq a^{2}_{i}$ với mọi $a_{i}\in [0;1]$.

 

Do đó, ta chỉ cần chứng minh BDT: $(1+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}\geq 4(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

 

Dễ thấy BDT trên luôn đúng, vậy ta có đpcm




#608140 Đề thi Olympic Toán Sinh viên ĐHBKHN 2016 (Đại số)

Gửi bởi trauvang97 trong 09-01-2016 - 13:26

Câu 1 (2đ): Cho các số phức $\alpha _{k}=cos\frac{k2\pi }{2016}+isin\frac{k2\pi }{2016}$, $k=0,1,2,...,2015$. Tính giá trị của biểu thức:

 

$A=\sum_{k=0}^{2015}\frac{1}{2+\alpha _{k}}$

 

Câu 2 (2đ): Tính định thức của ma trận $A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{2016x2016}$, trong đó:

 

$a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 2,  \forall i=j\\ 1,  \forall |i - j|=1\\ 0,  \forall |i - j|>1 \end{matrix}\right.$

 
Câu 3 (2đ): Cho $A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{mxn}$ là một ma trận có hạng bằng $m$. Chứng minh tồn tại ma trận $B=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{nxm}$ sao cho $AB=I_{m}$ (trong đó $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$)
 
Câu 4 (2đ): Kí hiệu $P_{2}[x]$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn bằng $2$. Cho toán tử tuyến tính: $f:P_{2}[x]\rightarrow P_{2}[x]$ xác định bởi: 
 
$f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(-5a_{0}+4a_{1}-a_{2})+(-2a_{0}+a_{1}+a_{2})x+(10a_{0}-10a_{1}+6a_{2})x^{2}$
 
Xác định vecto: $f^{2016}(3+6x+7x^{2})$, trong đó $f^{2016}=fofo...of$
 
Câu 5 (2đ): Có bao nhiêu bộ có thứ tự $(n_{1},n_{2},n_{3})$ các số tự nhiên thỏa mãn: 
 
$n_{1}>1,n_{2}>2,n_{3}>3$ và $n_{1}+n_{2}+n_{3}=2016$



#603349 Đề thi Olympic Toán Sinh viên cấp trường ĐH Giao thông Vận tải TP HCM năm 201...

Gửi bởi trauvang97 trong 15-12-2015 - 19:57

Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

a) Tính $A^{2015}$.

 

 

Tách ma trận $A$ thành tổng của hai ma trận rồi dùng khai triển Newton:

 

Ta có:

 

$A=\begin{pmatrix} 3 &0 &0 \\ 2 &3 &0 \\ -3 &4 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 2 &0 &0 \\ -3 &4 &0 \end{pmatrix}+3.\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

 

Do đó: $A=B+3I_{3}$ với $I_{3}$ là ma trận đơn vị cấp 3.

 

Mà: $B^2=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 8 &0 &0 \end{pmatrix}, B^3=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$ nên: $B^k=0$ với $k\geq 3$

 

Khi đó:

 

                              $A^{2015}=(B+3I_3)^{2015}=\sum_{k=0}^{2015}C_{k}^{2015}B^k.(3I_3)^{2015-k}$

 

                                                                          $=(3I_3)^{2015}+2015.B.(3I_3)^{2014}+\frac{2015.2014}{2}.B^2.(3I_3)^{2013}$

 

Đến đây thì chắc là đơn giản rồi




#603287 cách tìm vector thuộc span(u,v)?

Gửi bởi trauvang97 trong 15-12-2015 - 01:55

Dạ em có cái đề bài sao ạ: cho u=(1,-3,2), v=(2,-1,1) là hai vector của R3. Vector nào sao đây thuộc không gian span(u,v) 

a. (2,-5,4)

b.(1,7,-4)

c.(2,-5,-4)

d.(3,-8,5)

 

Em ko hiểu cái đề này ai có thể giải thích và giải giúp em dc ko ạ :) thanks mọi người trước ạ ^^

 

Bạn thử xem các vecto trên có là tổ hợp tuyến tính của u, v không nhé.

Ví dụ như sau: Xét: $(2,-5,4)=a(1-3,2) + b(2,-1,1)$

Giải hệ trên ta được $a=-1, b=1$, như vậy $(2,-5,4)$ sẽ là tổ hợp tuyến tính của $u,v$ và sẽ thuộc không gian $span(u.v)$




#603283 Đề thi Olympic Toán Sinh viên cấp trường ĐH Giao thông Vận tải TP HCM năm 201...

Gửi bởi trauvang97 trong 15-12-2015 - 00:47

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

 

Xử lí bài dễ trước ạ, em mới mon men học nên có gì sai sót mong anh sửa giúp

 

$A=\begin{pmatrix} -1&x &x &... &x \\ x& -1& x&... &x \\ x& x& -1&... &x \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ x& x& x& ...&-1 \end{pmatrix}$

 

$\overset{c1\rightarrow c1+c2+...+cn}{\rightarrow}\begin{pmatrix} (n-1)x-1&x &x &... &x \\ (n-1)x-1&-1 &x &... &x \\ (n-1)x-1&x &-1 &... &x \\ \vdots &\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ (n-1)x-1 &x &x &... &-1 \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[dn\rightarrow -d1+dn]{d2\rightarrow -d1+d2}\begin{pmatrix} (n-1)x-1 &x &x &... &x \\ 0& -1-x&0 & ... &0 \\ 0& 0&-1-x &... &0 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0& 0& 0&-1-x \end{pmatrix}$

 

Do đó: $detA=(-1)^{n-1}(1+x)^{n-1}[(n-1)x-1]$

 

Vậy phương trình $detA$ có 2 nghiệm thực đó là: $x=-1,x=\frac{1}{n-1}$




#598468 ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 20151 (ĐHBKHN)

Gửi bởi trauvang97 trong 15-11-2015 - 16:05

THỜI GIAN: 60'
ĐỀ DÀNH CHO KHỐI CN

 

 

 

Câu 1: Tìm tập giá xác định, tập giá trị của hàm số $y=arccos\sqrt[3]{x}$

 

Câu 2: Điểm $x=0$ là điểm gián đoạn loại gì của hàm số: $y = \frac{e^{3x}-1}{\left | x \right |}$

 

Câu 3: Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{6}-2x+1}{x^{50}-2x-1}$

 

Câu 4: Với $x\rightarrow 0$, các vô cùng bé sau có tương đương không: $\alpha (x)=sinx,\beta (x)=e^x-1-tan^2x$

 

Câu 5: Tìm cực trị của hàm số: $y=4x-5\sqrt[5]{x^4}$

 

Câu 6: Tính đạo hàm $f'(0)$ của hàm số: $f(x)=x.\sqrt[3]{tanx}$

 

Câu 7: Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3arctan(2x)-2arctan(3x)}{x^3}$

 

Câu 8: Tính tích phân: $\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}$

 

Câu 9: Tính tích phân: $\int \frac{xdx}{sin^2x}$

 

Câu 10: Cho đa thưc $P(x)$ có bậc $2015$ và $P(2015) = 1$. $P^{(k)}(2015)=(-1)^{k}.k!$ với $1\leq k\leq 2015$. Tính $P(2014)$




#566991 $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2...

Gửi bởi trauvang97 trong 19-06-2015 - 22:07

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$

 

ĐK: $x\neq 0$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=4x^{2}-4+\frac{32}{x^2\left ( 2x^2+3 \right )^2}$

 

Ta có:

 

$VP=\frac{1}{2}\left [ 4x^2+(2x^2+3)+(2x^2+3)+\frac{64}{x^2(2x^2+3)^2} \right ]-7\geq \frac{1}{2}4.4-7=1$

 

Đặt:

 

$VT=y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$                                              (1)

 

Ta có: 

 

                                 $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $y'=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{x^2+x+1}=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}$

 

                                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-1)(2x+1)>0\\ (2x-1)^2(x^2+x+1)=(2x+1)^2(x^2-x+1) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.

 

Mặt khác hàm số đã cho đồng biến

 

Ta có: 

 

$\lim_{x \to-\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=-1$

 

$\lim_{x \to+\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1$

 

Từ đó có bảng biến thiên và rút ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1<y<1$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm




#561467 $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a...

Gửi bởi trauvang97 trong 25-05-2015 - 09:44

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{c^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$. Tìm GTNN của biểu thức:

 

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$




#561466 Tìm min: $P=a+b+c+48(\frac{\sqrt{3}}...

Gửi bởi trauvang97 trong 25-05-2015 - 09:38

Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$.

Tìm min: 

$P=a+b+c+48(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})$

 

Bạn xem ở đây. Vẫn là a Hoàng Anh chứng minh đấy nhưng mà cách hay hơn nhiều




#554196 Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016

Gửi bởi trauvang97 trong 15-04-2015 - 18:55

Cho a,b,c là các số thực abc=1 .CMR:

$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ac}$

 

Ta có:                                               $3(a+b+c)=3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2$

 

Do đó:                                               $\frac{1}{3(a+b+c)}\geq \frac{1}{(ab+bc+ca)^2}$

 

Khi đó thì:

 

                                                         $1+\frac{3}{a+b+c}\geq 1+\frac{9}{(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$ (đpcm)




#510699 Đề thi khối A, A1

Gửi bởi trauvang97 trong 04-07-2014 - 11:01

Câu 8: (hệ phương trình)

 

ĐK: $2 \leq y \leq 12$, $|x|\leq \sqrt{12}$

 

Áp dụng bất đẳng thức: $(ab+cd)^2\leq(a^2+c^2)(b^2+d^2)$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ cho phương trình thứ nhất của hệ ta có:

 

$\left [ x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^2)} \right ]^2\leq(x^2+12-x^2)(y+12-y)=144$

 

hay ta có:

 

 $x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^2)}\leq12$

 

Theo đề bài đẳng thức phải xảy ra hay: 

 

$\frac{x}{\sqrt{12-y}}=\frac{\sqrt{12-x^2}}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq0\\ x^2+y=12 \end{matrix}\right.$

 

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 

$x^3-8x-1=2\sqrt{10-x^2}$

 

$\Leftrightarrow (x^3-27)-(8x-24)+(2-2\sqrt{10-x^2}=0$

 

$\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+9)-8(x-3)+\frac{2(x^2-9)}{1+\sqrt{10-x^2}}=0$

 

$\Leftrightarrow (x-3)\left ( x^2+3x+1+\frac{x+3}{1+\sqrt{10-x^2}} \right )=0$

 

$\Leftrightarrow x=3 \Rightarrow y=3$




#507914 P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac...

Gửi bởi trauvang97 trong 19-06-2014 - 21:45

Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$

 

Ta có:

 

$\frac{ab}{1+c^2}=\frac{ab}{a^2+c^2+b^2+c^2}\leq\frac{ab}{2\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )$

 

Tương tự ta có:  $\frac{bc}{1+a^2}\leq\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức:  $4(x^3+y^3)\geq(x+y)^3$ ta có:

 

$\frac{a^3b^3+b^3c^3}{a^3c^3}=\frac{b^3}{c^3}+\frac{b^3}{a^3}\geq\frac{1}{4}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$

 

Do đó:

 

$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right )^3$

 

$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$

 

Đặt: $\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=t>0$ rồi khảo sát hàm số.




#506946 GTNN của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y...

Gửi bởi trauvang97 trong 15-06-2014 - 20:13

Đề thi thử Moon lần $4$

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xy \geqslant 1, z \geqslant 1$

Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3(xy+1}$

Spoiler

 

Từ giả thiết ta có: 

 

$(z-1)^3\geq0\Leftrightarrow z^3+2\geq3(z^2-z+1)\geq3z$

 

Do đó: 

 

$P\geq\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{z}{xy+1}\geq\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{xy+1}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

$P\geq\frac{(x+y+1)^2}{3xy+x+y+1}$

 

Mặt khác:

 

$\left ( \frac{x+y+1}{3} \right )^3\geq xy\Leftrightarrow \ \frac{(x+y+1)^3}{9}\geq 3xy$

 

Do đó:

 

$P\geq \frac{9(x+y+1)^2}{(x+y+1)^3+9(x+y+1)}=\frac{9(x+y+1)}{(x+y+1)^2+9}$

 

Đặt: $x+y+1=t$ với $(t\geq 3)$. Khi đó: $P\geq \frac{9t}{t^2+9}$

 

Ta có: 

 

$P'=\frac{-9t^2+81}{(t^2+9)^2}=0\Leftrightarrow t=3$

 

Khảo sát hàm số ta có: $minP=\frac{3}{2}$ khi $t=3$ hay $x=y=z=1$

 

PS: Mới thi gần đây hả anh? Anh có làm hết không?




#505617 chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\s...

Gửi bởi trauvang97 trong 10-06-2014 - 21:47

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3

chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ac$ 

 

Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức: 

 

$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}\geq(a+b+c)^2=9$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có:

 

$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$

 

Chứng minh tương tự ta có: $b^2+2\sqrt{b}\geq3b, c^2+2\sqrt{c}\geq3c$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm.