AnnieSally

Bài 3 $\Delta ABC$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}S$ vs $S$ là diện tích

Tớ sửa lại đề chút $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S+(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2$

$\Leftrightarrow [a^2-(b-c)^2]+[b^2-(c-a)^2]+[c^2-(a-b)^2]\geq 4\sqrt{3}S\Leftrightarrow (a-b+c)(a-c+b)+(b-a+c)(b-c+a)+(c-a+b)(c-b+a)\geq 4\sqrt{3}S$

Đặt $x=b+c-a$, $y=c+a-b$, $z=a+b-c$. BĐT cần chứng minh tương đương với:

$yz+zx+xy\geq \sqrt{3}\sqrt{(x+y+z)xyz}\Leftrightarrow (yz+zx+xy)^2\geq 3xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (yz)^2+(zx)^2+(xy)^2\geq xyz(x+y+z)\Leftrightarrow (yz-zx)^2+(zx-xy)^2+(xy-yz)^2\geq 0$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow yz=zx=xy\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow \angle ABC$ đều

ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:

Nếu phương trình: $ax^3+bx^2+cx+d=0, a\neq0$ có $3$ nghiệm $x_1, x_2, x_3$ thì

$$\left\{\begin{matrix} & x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} & \\ & x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a} & \\ & x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a} & \end{matrix}\right.$$

Ngược lại, với ba số thực $a,b,c$ bất kì thì chúng là nghiệm của phương trình

$x^3+mx^2+nx+p=0(*)$, với $m=-(a+b+c), n=ab+bc+ca, p=-abc$

Do đó, từ sự tồn tại nghiệm của phương trình $(*)$ sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ba biến $a,b,c$. Trong bài viết này sẽ giới thiệu với bạn đọc ứng dụng của việc làm đó.

Đặt: $x=y-\frac{m}{3};\alpha=\frac{m^2}{3}-n;\beta=\frac{2m^3-9mn+27p}{27}$. Ta thu được phương trình

$$y^3-\alpha y+\beta=0(**)$$

Số nghiệm của $(**)$ chính là số giao điểm của đồ thị $($$C$$):f(y)=y^3-\alpha y+\beta$ với trục hoành

Ta có: $f'(y)=3y^2-\alpha$

Nếu $\alpha <0$ thì $f'(y)>0, \forall y$ nên phương trình $(**)$ có đúng $1$ nghiệm

Nếu $\alpha =0$ thì phương trình $(**)$ có nghiệm bội ba.

Nếu $\alpha >0$ thì $f'(y)=0$ có $2$ nghiệm $y_1=-\sqrt{\frac{\alpha}{3}};y_2=\sqrt{\frac{\alpha}{3}}$

$f(y_1)=\frac{2\alpha}{3}\sqrt{\frac{\alpha}{3}}+\beta, f(y_2)=-\frac{-2\alpha}{3}\sqrt{\frac{\alpha}{3}}+\beta$

Suy ra $f(y_1).f(y_2)=\beta ^2-\frac{4\alpha ^3}{27}=\frac{27\beta ^2-4\alpha ^3}{27}$

Do đó ta có: 

• Phương trình $(**)$ có ba nghiệm (có thể trùng nhau) khi và chỉ khi:​

$$f(y_1).f(y_2)\leq 0\Leftrightarrow 4\alpha ^3-27\beta ^2\geq 0$$

Hay là: $\left | 27p+2m^3-9mn \right |\leq 2\sqrt{(m^2-3n)^3}(1)$

Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau: 

1) Cho $m=0$ khi đó $(1)$ trở thành: $-4n^3-27p^2\geq 0\Leftrightarrow p^2\leq -\frac{4}{27}n^3$

Thí dụ $1$. Cho các số thực $a,b,c$ không đồng thời bằng $0$ thỏa $a+b+c=0$ 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{13a^2b^2c^2-2abc-2}{(a^2+b^2+c^2)^3}$

Lời giải. Đặt $n=ab+bc+ca,p=-abc$

Suy ra $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình: $x^3-mx+n=0(4)$

Ta có: $p^2\leq -\frac{4}{27}n^3\Rightarrow n^3\leq -\frac{27}{4}p^2$

Do đó: 

$$13p^2+2p-2\leq -2n^3\Leftrightarrow 13a^2b^2c^2-2ab-2\leq -2(ab+bc+ca)^3$$

Mà $(a+b+c)^2=0\Rightarrow ab+bc+ca=-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$

Dẫn tới: $13a^2b^2c^2-2abc-2\leq \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)^3\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=2 & \\ m=3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình

$$x^3-3x+2=0\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)=0=1,x=-2$$

Vậy $\max P=\frac{1}{4}$ đạt được khi $(a,b,c)=(1,1,-2)$ và các hoán vị

Thí dụ 2. Cho các số thực $a,b,c$ có tổng bằng $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=(a^2+b^2+c^2)^5-32(ab+bc+ca)a^2b^2c^2-8\left | abc \right |$$

Lời giải. 

Đặt $n=ab+bc+ca,p=-abc$ suy ra $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình: $x^3+nx+p=0(4)$

Ta có: $p^2\leq -\frac{4}{27}n^3 \Rightarrow -n^3\geq \frac{27}{4}p^2\Rightarrow \left | n^3 \right |\geq \frac{27}{4}p^2$

Vì $a+b+c=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)=-2n \Rightarrow n\leq 0$

Do đó: $P=-32n^5-32np^2-8\left | p \right |=32\left [ (-n)^5+(-n)p^2 \right ]-8\left | p \right |\geq 64\left | n^3 \right |\left | p \right |-8\left | p \right |\geq 8(54\left |p \right |^3-\left | p \right |)$

Xét hàm số: $f(t)=54t^3-t, t\geq 0$ ta có:

$$f'(t)=162t^2-1,f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{\sqrt{2}}{18}$$

Lập bảng biến thiên ta có $\min_{t\geq 0}f(t)=f\left ( \frac{\sqrt{2}}{18} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{27}$

Suy ra $P\geq -\frac{8\sqrt{2}}{27}$. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} p=\dfrac{\sqrt{2}}{18} & \\ n=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{24}} & \end{matrix}\right.$ hay $a,b,c$ là nghiệm của phương trình $$t^3-\dfrac{1}{\sqrt[3]{24}}t+\dfrac{\sqrt{2}}{18}=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( t-\dfrac{1}{\sqrt{6\sqrt[3]{3}}} \right )^2\left ( t+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{9}} \right )=0=\dfrac{1}{\sqrt{6\sqrt[3]{3}}},t=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{9}}$$

Vậy $\min P=-\frac{8\sqrt{2}}{27}.$ Đạt được khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{6\sqrt[3]{3}}},c=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{9}}$ và các hoán vị

2) Cho $n=km^2$, khi đó $(1)$ trở thành $\left | 27p+(2-9k)m^3 \right |\leq 2\left | m^3 \right |\sqrt{(1-3k)^3}$

Thí dụ 3. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=abc(a+b+c)^3+\frac{1}{(abc)^4}$$

Lời giải.

Đặt $m=-(a+b+c),n=ab+bc+ca,p=-abc,$ suy ra $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình

$$t^3+mt^2+nt+p=0$$

Từ giả thiết ta suy ra: $(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)=\frac{m^2}{4}$

Suy ra: $$\left | 27p-\frac{m^3}{4} \right |\leq \frac{|m^3|}{4}\Leftrightarrow |108p-m^3|\leq |m^3|$$

$$\Leftrightarrow p(54p-m^3)\leq 0\Leftrightarrow pm^3\geq 54p^2$$

Do đó:

$$P=pm^3+\frac{1}{p^4}\geq 54p^2+\frac{1}{p^4}=27p^2+27p^2+\frac{1}{p^4}\geq 3\sqrt[3]{27p^2.27p^2.\frac{1}{p^4}}$$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & n=\dfrac{m^2}{4} & \\ & 27p^2=\dfrac{1}{p^4} & \\ & 54p=m^3 & \end{matrix}\right.$ chẳng hạn ta chọn $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & p=\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \\ & m=\sqrt[3]{18\sqrt{3}} & \\ & n=\dfrac{\sqrt[3]{972}}{4} & \end{matrix}\right.$ hay $a,b,c$ là nghiệm của phương trình $t^3+\sqrt[3]{18\sqrt{3}}t^2+\frac{\sqrt[3]{972}}{4}t+\frac{1}{\sqrt{3}}=0\Leftrightarrow \left ( t+\frac{\sqrt[3]{18\sqrt{3}}}{6} \right )^2\left ( t+\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{3}} \right )=0$

Vậy $\min P=27$ đạt được khi $a=b=-\frac{\sqrt[3]{18\sqrt{3}}}{6},c=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{3}}$ và các hoán vị

Thí dụ 4. Cho các số thực $a,b,c$ thoả $2(a^2+b^2+c^2)=5(ab+bc+ca).$ Chứng minh rằng

$$\frac{1}{27}(a+b+c)^2+\sqrt[3]{abc+1}\geq 0$$

Lời giải. 

Đặt $m=-(a+b+c),n=ab+bc+ca,p=-abc$ ta suy ra $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình $$x^3+mx^2+nx+p=0$$

Từ giả thiết suy ra $2(m^2-2n)=5n \Rightarrow n=\frac{2}{9}m^2$

Mặt khác: $|27p+2m^3-9mn|\leq 2\sqrt{(m^2-3n)^3}$ nên ta suy ra 

$$|27p|\leq 2\sqrt{\frac{m^6}{27}} \Rightarrow 27p^3.p^2\leq 4m^6 \Rightarrow 27\sqrt[3]{\frac{p^2}{4}}\leq m^2$$

Do đó: $$\frac{1}{27}(a+b+c)^2\geq \sqrt[3]{\frac{p^2}{4}}$$

Ta chứng minh: $\sqrt[3]{\frac{p^2}{4}}\geq \sqrt[3]{p-1}\Leftrightarrow (\frac{p}{2}-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} & p=2 & \\ & m^2=27 & \\ & n=6 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & p=2 & \\ & m=\pm 3\sqrt{3} & \\ & n=6 & \end{matrix}\right.$ hay $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình $t^2\pm 3\sqrt{3}t^2+6t+2=0$

3) Xét $m^2-3n=c,c$ là hằng số cho trước

Thí dụ 5. Cho các số thực $a,b,c$ thoả $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=18(ab+bc+ca)^2-(ab+bc+ca)(a+b+c-48)+9abc.$$

Lời giải.

Đặt $m=-(a+b+c),n=ab+bc+ca,p=-abc$

Từ giả thiết suy ra $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)+4\Rightarrow m^2=3n+4$

Mặt khác: $|27p+2m^3-9mn|\leq 2\sqrt{(m^2-3n)^3}$

Suy ra: $|27p+2m(3n+4)-9mn|\leq 18 \Leftrightarrow |27p-3mn+8m|\leq 16$

$$\Rightarrow mn-9p\geq \dfrac{8m-16}{3}$$

Mặt khác: 

$P=18(ab+bc+ca)^2+48(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)(a+b+c)+9abc$

$=2[3(ab+bc+ca)+4]^2-(ab+bc+ca)(a+b+c)+9abc-16$

$=2(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)(a+b+c)+9abc-16$

$=2m^4+mn-9p-16\geq 2m^4+\frac{8m-16}{3}-16=\frac{1}{3}(6m^4+8m-64)$

Xét hàm số: $f(m)=6m^4+8m-64,$ ta có:

$$f'(m)=24m^3+8 \Rightarrow f'(m)=0=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$

Suy ra: $f(m)\geq f\left ( -\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right )=-\frac{6}{\sqrt[3]{3}}-64.$ Nên $P\geq -\frac{1}{3}\left ( \frac{2}{\sqrt[3]{3}}+64 \right )$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} & m=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} & \\ & n=\dfrac{1}{3}\left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{9}}-4 \right ) & \\ & p=\dfrac{1}{9}\left ( \dfrac{4}{\sqrt[3]{3}}+\dfrac{47}{9} \right ) & \end{matrix}\right.$, suy ra $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình:

$$t^3-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}t^2+\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{9}}-4 \right )t+\frac{1}{9}\left ( \frac{4}{\sqrt[3]{3}}+\frac{47}{9} \right )=0$$

Vậy $\min P=-\frac{1}{3}\left ( \dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}+64 \right )$

Phương pháp này có thể nói là một phát biểu kiểu khác của $p,r,q$. Tuy nhiên, với việc đánh giá bất đẳng thức $(1)$ cho phép ta chế các bài toán về cực trị và bất đẳng thức ba biến với đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng nhau. Chuyên đề sẽ được tiếp tục hoàn thành với những kết quả có ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức. Rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc.

Bài tập.

Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả $(a+b+c)^3=32abc.$ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$.

Bài 2. Cho các số thực $a,b,c$ có tổng bằng $-1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=2abc+(ab+bc+ca)^2$

Bài 3. Cho $a,b,c\geq 0$ thoả $a+b+c=1$. Tìm GTLN của $P=\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)$

Bài 4. Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện $a+b+c=3$ và $abc\geq -4$ 

Chứng minh rằng: $3abc+12\geq 5(ab+bc+ca)$

Nguyễn Tất Thu

Đáp án ở đây baby, có lẽ "ta" nên thi hoá

Với những "cái chung" của đề bài cho thì khi tác dụng với acid $HCl$ sẽ cho ra cùng 1 khí $\to$ là muối trung hòa, acid, bazo của $Mg$ với một acid yếu dễ bay hơi như $CO_3^{2-}; SO_3^{2-}$

Vậy muối đó có thể là: $MgCO_3$, $Mg(HCO_3)_2$, $(MgOH)_2CO_3$ 

Các phương trình phản ứng tự ghi nhá. HaizZz 

Ta có: $E=h(c/\lambda ).N_A\Rightarrow \lambda=6,3.10^{-7}m$

$\lambda$ nằm trong vùng các tia sáng nhìn thấy nên phân hủy $Br_2$ được và làm $Br_2$ có màu

P/s: Bài này mà m cũng hỏi

 

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R(R là một độ dài cho trước).M,N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A,B đến đường thẳng MN bằng $R\sqrt{3}$

a)Tính độ dài đoạn MN theo R

b)Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I,giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng 4 điểm M,N,I,K  cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R

c)Tìm giá trị lớn nhất của diện tích $\Delta KAB$ theo R khi M,N thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán

 

 

Xem

Xin lỗi, em nhầm đề....

Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa:

$f(x)f(y)+f(x+y)=f(xy+1)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ và $f(-1)\neq0$

Xem tại đây

Hai vật A và B có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang và được nối với nhau bằng 1 sợ dây không dãn , khối lượng k đáng kể. Khối lượng 2 vật là mA=2kg, mB=1kg . Ta tác dụng vào vật A một lực F=9N theo phương song song với mặt bàn . Hệ số ma sát giữa 2 vật với mặt bàn là 0,2 .Lấy g=10m/s2

a,phân tích các lực tác dụng vào vật 

b,tính gia tốc của chuyển  động và sức căng của dây nối 

Bài 5

Tìm số tự nhiên lớn nhất có 10 chữ số biết số đó chia 5 dư 2, chia 9 dư 2 và chia 753 dư 20

Xem thêm tại đây

chứng minh rằng trong tam giác ABC: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$

Áp dụng CT Heron:

Ta có: $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\leq p\left ( \frac{p-a+p-b+p-c}{3} \right )^2=\left ( \frac{a+b+c}{6} \right )^3$

Do đó: $\Rightarrow 12\sqrt{3}S\leq (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$

1. Tế bào gan bị đầu độc nên LNC trơn phát triển mạnh tạo ra nhiều enzyme giải độc

2. a) Có 2 loại thụ thể:

- Thụ thể trong MSC: là các phân tử P xuyên màng

- Thụ thể bên trong tế bào: là các P thụ thể trong TBC hoặc nhân của TB đích

b) Hoocmone ostrogen, testoterone là các hoocmone steroid, tan trong Lipit $\to$ có thể đi qua lớp kép photpholipit $\to$ phù hợp với thụ thể là P trong TB

-Insulin là P, kích thước lớn, không qua màng $\to$ phù hợp với thụ thể là P trong MSC

* CT:

-Mạng LNC cấu trúc bằng mạng đơn sinh chất, gồm các xoang và ống nối thông với nhau

-Mạng LNC hạt trên màng đước đính các hạt ribosome, mạng LNC trơn trên màng k có ribosome

*CN:

-Mạng LNC hạt có chức năng là nơi tổng hợp các loại P của mạng và P ngoại bào

-Mạng LNC trơn là nơi tổng hợp Lipid của tế bào và có chức năng khử độc của tế bào

* Giải thích:

-Gan là nơi tổng hợp hầu hết các loại P của máu nên có mạng LNC hạt phát triển

-Gan còn là nơi khử các độc tố được tạo ra từ trao đổi chất hoặc từ bên ngoài xâm nhập vào cơ thể nên có mạng LNC trơn phát triển

Giải phương trình:

$\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-2}$

Xem tại đây

Cho tam giác ABC có 2 đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi. H,G lần lượt là trực tâm và trọng tâm tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết trung điểm K của HG thuộc BC

Đề thi HSG QG $2006-2007$