bachhammer

$sin2x = cos^{4}\frac{x}{2} - sin^{4}\frac{x}{2}$

$sin2x=cos^4 \frac{x}{2}-sin^4\frac{x}{2} =(cos^2 \frac{x}{2}-sin^2 \frac{x}{2})(cos^2 \frac{x}{2}+sin^2 \frac{x}{2})=cos^2 \frac{x}{2}-sin^2 \frac{x}{2}=cosx=sin(\frac{\pi}{2}-x)$

Đến đây giải tiếp được rồi....

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $a + b + c - abc$

 

Mọi người giải giúp em bài này....Đây không phải dạng điểm rơi đối xứng

 

Mình có một cách giải thử xem: 

Ta có :$(a+b+c-abc)^2=[a+b+c(1-ab)]^2\le[(a+b)^2+c^2][1+(1-ab)^2]=(3+2ab)(a^2b^2-2ab+2).$ Đến đây khảo sát hàm số theo t = ab là được. (Chặn t tí là được)

Bài toán 1: Tìm đa thức $P(x)$ hệ số nguyên và thỏa mãn với mọi số $n$ nguyên dương ta có $2^{n}-1$ chia hết $P(n)$

Bài toán 2: Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực. Tìm bộ ba số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 1: Ta xét P(x) là đa thức hằng thì dễ dàng suy ra P(x)=1, P(x)=-1 thỏa bài toán. Sau đó xét P ko là đa thức hằng. Khi đó ta gọi p là ước nguyên tố của P(n) nào đó , n nguyên dương thì p phải là số lẻ (vì p là ước của $2^n-1$). Ta có $f(n+p)-f(n)\equiv 0(modp)$ hay $2^{n+p}-2^n\equiv 0 (modp)$. Theo định lí Fermat ta có $2^{n+p}\equiv2^{n+1}(modp)\Rightarrow 2^{n+1}\equiv 2^n (mod p)\Rightarrow 2^n\equiv 0(mod p)$ (Vô lí). Từ đó ta kết luận là được.

Bài 2: Gỉa sử $x_0$ là nghiệm của P(x) thì ta có $(x_0^4+1)^2=(ax_0^3+bx_0^2+cx_0)^2=x_0^2 (ax_0^2+bx_0+c)^2\le x_0^2(a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)=(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \frac{(x_0^4+1)^2}{x_0^6+x_0^4+x_0^2}$. Đến đây khảo sát hàm số là được

Theo mình phải là $\frac{1}{abc\sqrt[3]{abc}}$ chứ nhi???

Nếu vậy thì $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{3}\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a^{4}bc}}=\frac{1}{3}\sum \frac{1}{a\sqrt[3]{abc}}= \frac{1}{3}\frac{\sum ab}{abc\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{abc\sqrt[3]{abc}}$

Cũng có thể bạn đánh giá chưa chặt thì sao??? 

Cho x,y,z>0 và $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^ny+y^nz+z^nx$ với n là số tự nhiên 

Tự hào là thành viên VMF

Xét n = 0 thì $P=x+y+z=1$ nên 1 là GTLN trong TH này

Xét n = 1 thì $P=xy+yz+zx\le\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Xét $n\ge2$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$. Áp dụng BĐT Bernouli ta được:

$b(a+c)^n=a^nb(1+\frac{c}{a})^n\ge a^nb(1+\frac{nc}{a})\ge a^nb(1+\frac{2c}{a})=a^nb+a^{n-1}bc+a^{n-2}abc\ge a^nb+b^{n-1}bc+c^{n-2}ac^2=a^nb+b^nc+c^na.$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:$b(a+c)^n=n^n. (\frac{a+c}{n})^n.b\le n^n(\frac{n.\frac{a+c}{n}+b}{n+1})^{n+1}=\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$.

Từ đó suy ra P đạt giá trị lớn nhất là $\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$ và dấu bằng có thể tự tìm được....