deathavailable

 

Ngày thi thứ hai

 

Câu IV. Cho $a,b\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z^+}$. CMR

$A=b^{n-1}a(a+b)(a+2b)...[a+(n-1)b]$ chia hết cho $n!$

 

Câu V. Cho tứ giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $BAD,CAD$. Gọi $DI,AJ$ lần lượt cắt $(O)$ tại $S,T$. Đường thẳng $IJ$ cắt $AB,CD$ tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng $SM,TN$ cắt nhau trên đường tròn $(O)$

b) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$ cắt $CD$ tại $P$ khác $N$. $(CDM)$ cắt $AB$ tại $Q$ khác $M$. Chứng minh rằng $PQ$ đi qua tâm nội tiếp hai tam giác $ABC$ và $DBC$

 

Câu VI. Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$. CMR

$\frac{x}{\sqrt{yz}+\sqrt{3}}+\frac{y}{\sqrt{xz}+\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{xy}+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}xyz}$

 

---------------------------------------------------------------------------

P/s: Rớt rụng răng

 

Ai làm giùm bài hình với ngồi cả buổi loay hoay mãi không ra  

Bất đẳng thức logarit:

${\color{DarkBlue} x-\frac{x^2}{2}\leq \ln (1+x)\leq x-\frac{x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}, \forall x\geq 0}$

Từ đó chứng minh: $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}}=\frac{-1}{2}$

Cầu giải chi tiết!!!

Các bất đẳng thức trên được dựa vào khai triển Maclaurin cho hàm số $f(x)=ln(1+x) $ với $x >-1$ và chọn $n =4$ ta có 

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{c^4}{4}$ với $0 \le c \le x $

SUy ra $ln(1+x) \le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$ còn bất đẳng thức còn lại cũng tương tự nhưng chọn $n=2$

rõ ràng x chẵn mà bạn

$x$lẻ bạn ạ $x$ mà chẵn thì các số hạng đều phải bằng $0$ tuy nhiên điều này đâu xảy ra :") 

Bài 48: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn  $f(f(n))=n^2$

Mình nghĩ thế này: Vì $a,b,c \in N*, a+b+c=100$ Không mất tổng quát, giả sử $a=min{a,b,c}$  thì $a \le 33$ 

Xét $34a.33b.33c \le (\frac{34a+33b+33c}{3})^3 =(\frac{33.100+a}{3})^3 \le (\frac{33.100+33}{3})^3$