etucgnaohtn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                              KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             ĐIỆN BIÊN                                                              NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                Môn thi: TOÁN

          Thời gian: 150 phút

         Ngày thi: 12/12/2023

 

 

Bài 1. 1) Cho biểu thức $P=\frac{3x+5\sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}-1$

            a) Rút gọn biểu thức P

            b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

            2) Cho các số thực x, y thỏa mãn $\left ( x-\sqrt{x^{2}+5} \right )\left ( y-\sqrt{y^{2}+5} \right )=5$.

            Tính giá trị của biểu thức $Q=x^{2023}+y^{2023}$

Bài 2. a) Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{x^{2}+5}=3x-5$

            b) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

Bài 3. a) Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $(d):y=mx+2m+2$ (m ¹ 0) đạt giá trị lớn nhất.

            b) Tìm đa thức $f(x)$, biết rằng $f(x)$ chia cho $x-3$ dư 2, $f(x)$ chia cho $x+4$ dư 9, $f(x)$ chia cho $x^{2}+x-12$ được thương là $x^{2}+3$ và còn dư.

            c) Một cửa hàng lưu niệm được nhận đặt gói tất cả 153 hộp quà như nhau bằng ba loại giấy màu xanh, đỏ, vàng để chuẩn bị cho Lễ Giáng sinh. Biết số hộp quà gói được màu đỏ bằng $\frac{8}{9}$ số hộp quà màu xanh, số hộp quà gói được màu vàng bằng $\frac{17}{16}$ số hộp quà màu đỏ và 153 hộp quà đều được cửa hàng gói hết. Tính số hộp quà mỗi màu mà cửa hàng đã gói được.

Bài 4. Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d cố định sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng 2R. Từ điểm A bất kì trên đường thẳng d, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt BC tại H và cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ CK vuông góc với đường kính BD tại K.

            a) Chứng minh rằng $CA.CD=CK.OA$

            b) Gọi I là giao điểm của AD và CK. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK.

            c) Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABOC đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 5. a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}\geq \frac{a+b+c}{3}$

            b) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kì thì có ít nhất 3 học sinh đến từ một quốc gia. Gọi k là số quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng $n<\frac{k+10}{2}$

 

--- Hết ---

Bài 2: 

a) Giải phương trình $\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}=3x-5$

Điều kiện: Vì $\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5} = \frac{x^2+12-(x^2+5)}{\sqrt{x^2+12}+\sqrt{x^2+5} }=\frac{7}{\sqrt{x^2+12}+\sqrt{x^2+5}} > 0$

nên $3x-5>0$ hay $x>\frac{5}{3}$

PT đã cho tương đương với:

$\sqrt{x^2+12}-4-(\sqrt{x^2+5}-3)-3x+6=0$

$\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}-3(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3} -3)=0$

Nếu $x-2=0$ ta thu được 1 nghiệm $x=2$

Nếu $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3} -3=0(*)$ thì đặt $A=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3} -3$.
Ta sẽ chứng minh $A<0$

Ta có: $A=(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-1)+(-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-1)-1$

Đặt $B=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-1$ và $C=-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-1$

Ta có $B =\frac{x+2-\sqrt{x^2+12}-4}{\sqrt{x^2+12}+4} =\frac{x-2-\sqrt{x^2+12}}{\sqrt{x^2+12}+4}$

Vì $\sqrt{x^2+12}>\sqrt{x^2}=|x|$ với mọi $x$ nên $-\sqrt{x^2+12}<-|x|$

Lại có $x\leq |x|$ với mọi $x$

Từ đó suy ra

$x-\sqrt{x^2+12}-2<|x|-|x|-2=-2$

Tức là $x-\sqrt{x^2+12}-2<0$

$\Leftrightarrow (x-2-\sqrt{x^2+12}).\frac{1}{\sqrt{x^2+12}+4}<0$
Vậy $B<0$

Ta tiếp tục xét $C=-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-1=\frac{-x-5-\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{x^2+5}+3}$

Vì $x>\frac{5}{3}$ (điều kiện xác định) nên $-x<-\frac{5}{3}$. Suy ra $-x-5< -\frac{5}{3}-5=\frac{-20}{3}<0$

Lại có $-\sqrt{x^2+5}<0$ với mọi $x$ 

Từ đó suy ra $-x-5-\sqrt{x^2+5}<0$ 

$\Leftrightarrow (-x-5-\sqrt{x^2+5}).\frac{1}{\sqrt{x^2+5}+3}<0$

Vậy $C<0$

Từ đó ta có $B+C-1<0$ hay $A<0$

Vậy phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=2$

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2018 - 2019

Câu 1:

a) Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}+1}{4-x}:\frac{1}{2\sqrt{x}-x}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x\neq 4$.

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm giá trị của x để $P>\frac{1}{7}$

b) Cho phương trình $x^2+6x-6m-m^2=0$(1)  (với m là tham số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2=6x_1+x_2$

Câu 2:

a) Giải phương trình $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^2+x-6$

b) Giải phương trình $\left\{\begin{matrix} y^2-xy-2x^2=6(x+y)\\ (4x+1)^2=3(4y-21) \end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,E (D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của BC và AO.

a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Trên cung nhỏ CD của đường tròn (O) lấy điểm F tùy ý (F khác C,D).Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với lần lượt cắt FC, FE lần lượt tại M,N.

Chứng minh rằng $\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{BE}$ và $\frac{NF}{NE}=\frac{BD^2}{BE^2}$

c) MB cắt (O) tại P (P khác B). chứng minh rằng NH song song với PD.

Câu 4:

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $abc=2$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Câu 5:

a) Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $S_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ .Chứng minh rằng $24(2n+3)S_n+1$  là số chính phương.

b) Đặt tùy ý 2018 tấm bìa hình vuông canh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh bằng 131. Chứng minh rằng trong hình vuông lớn,  ta luôn đặt được một một hình tròn bán kính 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung với bất cứ hình vuông nào.

---------Hết----------

 

Phần a câu 5 khá dễ 
Mình chính là người đã đặt vấn đề và nghĩ ra cách tính tổng dãy số này bằng máy tính năm lớp 11
Thật ra đề bài chỉ yêu cầu nhớ được công thức $1^2+2^2+...+n^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$
Thế vào là ra $24(2n+3)S_n+1=24(2n+3)(\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n)+1=(4n^2+6n+1)^2$

 

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 30/5/2018

Câu 1: Cho biểu thức

$$P=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}.\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$$

Với $x>1$

1. Rút gọn biểu thức $P$

2. Tìm $x$ để $P=x-1$

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $BC=a, AB=b$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Qua điểm $M$ dựng đường thẳng cắt đường chéo $AC$ của hình chữ nhật $ABCD$ tại $P$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$.

1. Khi $MP\perp AC$ hãy

a) Tính $PQ$ theo $a$ và $b$

b) chứng minh $a.BP=b.PN$

2) chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{MNQ}$ ( Không nhất thiết $MP$ và $AC$ vuông góc với nhau)

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

Ảnh cho bạn nào cần

 

Câu 3:
1)
Ta có

$x^3-x-1=0(*)$

$\Leftrightarrow x^3-x-1+x^2=x^2$

Mà $x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên

$x^3+x^2-x-1\geq 0$ 
$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)^2\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x-1\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x\geq 1$ với mọi $x$

Vì $x_0$ là 1 nghiệm của pt $(*)$ nên $x_0\geq 1(**)$

Suy ra $x_0>0$ (đ.p.c.m)

2)

_Theo $(**)$ ta có $x_0\geq 1$
Suy ra $x_0^2\geq 1$
Hay $x_0^2-1\geq 0$
_Vì $x_0>0$ nên $x_0^3>0$
Do đó $\frac{x_0^2-1}{x_0^3}=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2}{x_0^6}}$

Ta có

$M=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2}{x_0^6}}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$

$=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2(2x_0^2+3x_0+2)}{x_0^6}}$

$=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2(2x_0^2+3x_0+2)}{(x_0^3)^2}}$

$=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2(2x_0^2+3x_0+2)}{(x_0+1)^2}}$( vì $x_0$ là nghiệm pt $(*)$ nên $x_0^3=x_0+1$ ) 

$=\sqrt{2x_0^4-x_0^3-2x_0^2-x_0+2}$

Vì $x_0^3-x_0-1=0$ suy ra $x_0^4-x_0^2-x_0=0$ 
Từ đó ta có $\left\{\begin{matrix} x_0^3=x_0+1 & \\ x_0^4=x_0^2+x_0 & \end{matrix}\right.$

Thay vào ta được 
$M=\sqrt{2(x_0^2+x_0)-(x_0+1)-2x_0^2-x_0+2}=\sqrt{1}=1$

Vậy $M=1$

 

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 30/5/2018

Câu 1: Cho biểu thức

$$P=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}.\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$$

Với $x>1$

1. Rút gọn biểu thức $P$

2. Tìm $x$ để $P=x-1$

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $BC=a, AB=b$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Qua điểm $M$ dựng đường thẳng cắt đường chéo $AC$ của hình chữ nhật $ABCD$ tại $P$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$.

1. Khi $MP\perp AC$ hãy

a) Tính $PQ$ theo $a$ và $b$

b) chứng minh $a.BP=b.PN$

2) chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{MNQ}$ ( Không nhất thiết $MP$ và $AC$ vuông góc với nhau)

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

Ảnh cho bạn nào cần

 

Câu 1:

1)

Đặt $A=\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$

Đặt $B=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

Khi đó $P=AB$

Ta có $\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}=\frac{2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}$

$\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}$

Do đó 

$A=\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}=\frac{2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$

Ta có $B=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

Ta có $P=AB=\frac{2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}.\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{(2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{2x(x+1)-(x+1)(x-1)+(x-1)\sqrt{(x-1)(x+1)}}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{(x+1)^2+(x-1)\sqrt{(x-1)(x+1)}}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{\sqrt{x+1}[(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}]}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\sqrt{x+1}$

Vậy $P=\sqrt{x+1}$

2)

$P=x-1$ 

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 & \\ x^2-3x=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=3$

Vậy để $P=x-1$ thì phải có $x=3$

Gợi ý : Dùng phép rút thế từ PT(1) 

$VT=x\sqrt{x}-1=(\sqrt{x})^3-1=(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$

DÙNG CALC 100 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA TỔNG DÃY SỐ
Mở đầu
Dùng CALC 100 có thể giải được hầu hết các bài toán trên. Các bạn làm thử nhé, sau đây là một ví dụ
Ví dụ
Tìm công thức tổng quát của $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}. $
Đặt $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}.$
Ta có
 + $ S_{100}=\sum_{y=1}^{100}\frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}=\frac{245075}{530553}; $
 + $ 245075 \times 4=980300; $
 + $ 530553\times 2=1061106. $
Suy ra
$\frac{4}{2} S_{100} =\frac{980300}{1061106}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{98/03/00}{1/06/11/06}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{0/98/03/00}{1/06/11/06}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{(0+1)/(98-100)/3/0}{1/6/11/6}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1/-2/3/0}{1/6/11/6}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1n^3-2n^2+3n+0}{n^3+6n^2+11n+6}$
 
$\Rightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n^3+6n^2+11n+6)}$
 
$\Leftrightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n+1)(n+2)(n+3)}.$
 
Hạn chế
Phương pháp này chưa thể hiện rõ cách tìm số thích hợp để nhân lên. Nếu đa thức có mẫu bằng 1 thì theo kinh nghiệm ta có thể nhân thêm cho các ước của (bậc+1)!, tối đa là nhân với (bậc+1)!. Nhưng nếu là phân thức thì... cần có những nghiên cứu tiếp theo.
 
Phiên bản tiếng Anh của bài viết đã được đăng lên https://math.stackex...2323211#2323211

Mọi người chữa chi tiết và xem xét đề này nhé. Đề khá khó. hic. 

Câu I : 
2) Cho $ab+a+b=1$

CMR : $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)}}$

Giải :

Ta có $VT=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{ab+a+b+a^2}+\frac{b}{ab+a+b+b^2}$

$=\frac{a}{b(a+1)+a(a+1)}+\frac{b}{a(b+1)+b(b+1)}$

$=\frac{a}{(a+1)(a+b)}+\frac{b}{(a+b)(b+1)}$

$=\frac{1}{a+b}(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})$

$=\frac{1}{a+b}.\frac{2ab+a+b}{(a+1)(b+1)}$

$=\frac{1+ab}{(a+b)(a+1)(b+1)}$

$=\frac{1+ab}{(a+b)(ab+a+b+1)}$

$=\frac{1+ab}{2(a+b)}$

$VP=\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)}}$

$=\frac{1+ab}{\sqrt{2(ab+a+b+a^2)(b^2+ab+a+b)}}$

Câu pt : 
$2(x+1)\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})(2-\sqrt{1-x^2})$

Điều kiện : $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\sqrt{x+1}=t$ thì $t\geq 0$ và $x=t^2-1$

PT đã cho tương đương : $2t^3=(t+\sqrt{2-t^2})(2-t\sqrt{2-t^2})$

$\Leftrightarrow t^3+(t^2-2)\sqrt{2-t^2}=0$

$\Leftrightarrow t^3-(2-t^2)\sqrt{2-t^2}=0$

$\Leftrightarrow t^3=(\sqrt{2-t^2})^3$

$\Leftrightarrow t=\sqrt{2-t^2}\Leftrightarrow 2t^2=2$

$\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=0$

Vậy pt đã cho có nghiệm $x=0$

Vòng 2

18838931_1681484311869324_6265357203618662814_n.jpg

Xin chém câu 2 trước :
$\sqrt{(x^2+2x)^2+4(x+1)^2)}-\sqrt{x^2+(x+1)^2+(x^2+x)^2}=2017$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x^2+2x+2)^2}-\sqrt{(x^2+x+1)^2}=2017$

$\Leftrightarrow x^2+2x+2-(x^2+x+1)=2017$

$\Leftrightarrow x+1=2017$

$\Leftrightarrow x=2016$
Vậy pt có nghiệm $x=2016$ 

Vòng 2

 18838931_1681484311869324_6265357203618662814_n.jpg   79.1K   213 Số lần tải

 18891431_1680240951993660_4634610861669563797_o.jpg   93.49K   332 Số lần tải

Rút y theo x từ PT1 rồi thế vào PT(2) là OK

Giải phương trình sau:
$\frac{3x^{4}+9x^{3}+17x^{2}+11x+8}{3x^{2}+4x+5}=(x+1)\sqrt{x^{2}+3}$

Sau đây là một thủ thuật khai triển đa thức 2 biến bằng máy tính bỏ túi , và có thể bạn cũng nghĩ ra được nó nếu bạn đã học qua về lim ( giới hạn ) ...


 

CÁCH KHAI TRIỂN ĐA THỨC 2 BIẾN HỆ SỐ NGUYÊN

BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Tác giả : Lương Đức Nghĩa K47 Tin THPT CSP 

( Tham khảo ghi rõ nguồn thay lời cảm ơn tác giả )

Yêu cầu : Vẫn là hiểu biết sơ bộ về thủ thuật CALC 1000
Bạn nào chưa biết cái này thì mình khuyên nên tìm hiểu về nó đi , ứng dụng của CALC 1000 là rất lớn vì ở đâu có $x$ thì ở đó có CALC 1000 !
Ý tưởng : Dùng lim ( giới hạn )
______________________________________________________
VÍ DỤ 1 : $(x+2y-1)^2(x+y+1)$

Nhận xét : Ta thấy bậc của x , y bằng nhau và bằng 3

Bước 1 :
Tính $(x+2y-1)^2(x+y+1):x^3$ tại $y=1000$ , $x=10^{10}$
Kết quả : 1,0000005
Bước 2 :
Tính $((x+2y-1)^2(x+y+1)-x^3):x^2$ tại $y=1000$ , $x=10^{10}$
Kết quả : $4999,0008 \approx 4999=5y-1$
Bước 3 :
Tính $(x+2y-1)^2(x+y+1)-x^3-(5y-1)x^2$ tại $x=0$ , $y=1000$
Kết quả : $3999997001=4y^3-3y+1$
Bước 4 :
Tính $((x+2y-1)^2(x+y+1)-x^3-(5y-1)x^2-4y^3+3y-1):x$ tại $x=1000$ , $y=1000$
Kết quả : $7997999=8y^2-2y-1$

Như vậy kết quả là : $(x+2y-1)^2(x+y+1)=x^3+(5y-1)x^2+(8y^2-2y-1)x+4y^3-3y+1$

VÍ DỤ 2 : $E=\frac{6x^3y+x^3+9x^2y^2-14x^2y+x^2-6xy^3-15xy^2+17xy-3x+4y^3+4y^2-5y+1}{x+2y-1}$

Nhận xét : Bậc bằng nhau và bằng 2
Ví dụ này khó hơn vì phép tính tràn màn hình , do đó ta phải dùng phương pháp " chia để trị " ( tức là chia nhỏ thành từng phần để trị )

Bước 1 :
Tính $E$ tại $x=10^{10},y=1000$ lưu vào $A$
Tính $E$ tại $x=0,y=1000$ lưu vào $B$
Tính $E$ tại $x=1000,y=1000$ lưu vào C
Bước 2 :
Tính $A:x^2$ tại $x=10^{10}$ ta được $6000,999699\approx6001=6y+1$
$B = 2002999=2y^2+3y-1$
Tính $(C-(6y+1)x^2-2y^2-3y+1):x$ tại $x=1000,y=1000$ ta được $-3009998=-3y^2-10y+2$

Như vậy kết quả là $E=(6y+1)x^2-(3y^2+10y-2)x+2y^2+3y-1$

VÍ DỤ 3 : $F=\sqrt{9x^4y^6 + 6x^3y^4 - 6x^3y^3 + 6x^2y^3 + x^2y^2 - 2x^2y + x^2 + 2xy - 2x +1}$


Nhận xét : Bậc của y là cao hơn ( bằng 3 ) , do đó ta sẽ cho $y=1000$ rồi chia theo $x$

Bước 1 :
Tính $E$ tại $x=10^{10},y=1000$ lưu vào $A$
Tính $E$ tại $x=0,y=1000$ lưu vào $B$
Tính $E$ tại $x=1000,y=1000$ lưu vào $C$
Bước 2 :
Tính $A:x^2$ tại $x=10^{10}$ ta được $3000000000=3y^3$
$B=1$
Tính $(C-3y^3x^2-1):x$ tại $x=1000,y=1000$ ta được $999=y-1$

Như vậy kết quả là $F=\left|3y^3x^2+(y-1)x+1 \right|$


_______________________________________

P/s : Like và share thay lời cảm ơn tác giả !