Hi vọng bạn đã tìm thấy chỗ không đúng trong suy luận.
Một ánh xạ là co nếu có $\alpha \in (0,1)$ sao cho
$\quad \|F(x) - F(y)\| \leqslant \alpha \|x - y\|, \quad x, y \in X$.
Trong lời giải, không có chỗ nào suy ra bất đẳng thức trên.
Tuy nhiên, bạn đã chứng minh:
$\quad\|f(x^* ) -x^*\| \leqslant \alpha \|f(x^*) - x^*\|$,
và từ đó dễ dàng suy ra $ \|f(x^*) - x^*\| = 0$ hay $f(x^*) = x^*$.
Tức là $x^*$ cũng là điểm bất động của $f$.
Mình có một câu hỏi liên quan đến ánh xạ co, vì chủ đề có sẵn rồi nên mình ngại mở chủ đề mới, xin phép được hỏi luôn ở đây.
Cho M là tập hợp con không rỗng của không gian Banach, f: M$\rightarrow$M, $f^n = f\circ ...\circ f$.
CMR: Nếu $f^n$ là ánh xạ co với $n \in \mathbb{N}$ thì f sở hữu một điểm bất động duy nhất.
Theo định luật về ánh xạ co thì $f^n$ cũng sở hữu 1 điểm bất đồng duy nhất, giả sử là x*, tức là $f^n(x*)=x*$ . Vậy thì:
$\begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ = $\begin{Vmatrix} f(f^n(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} f^n(f(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}< \alpha \begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ với $\alpha \in (0,1)$ do $f^n$ là ánh xạ co.
Do vậy f cũng là ánh xạ co $\Rightarrow$ f sở 1 điểm bất động duy nhất trong M.
Liệu chứng minh của mình có đúng hay không?