Đến nội dung

maxolo

maxolo

Đăng ký: 13-05-2013
Offline Đăng nhập: 10-04-2014 - 11:52
-----

Trong chủ đề: Ánh xạ co trong không gian Banach

09-01-2014 - 03:09

Hi vọng bạn đã tìm thấy chỗ không đúng trong suy luận. 

Một ánh xạ là co nếu có $\alpha \in (0,1)$ sao cho

$\quad \|F(x) - F(y)\| \leqslant \alpha \|x - y\|, \quad x, y \in X$.

Trong lời giải, không có chỗ nào suy ra bất đẳng thức trên.

Tuy nhiên, bạn đã chứng minh:

$\quad\|f(x^* ) -x^*\| \leqslant \alpha \|f(x^*) - x^*\|$,

và từ đó dễ dàng suy ra $ \|f(x^*) - x^*\| = 0$ hay $f(x^*) = x^*$.

Tức là $x^*$ cũng là điểm bất động của $f$.

 

Mình có một câu hỏi liên quan đến ánh xạ co, vì chủ đề có sẵn rồi nên mình ngại mở chủ đề mới, xin phép được hỏi luôn ở đây.

Cho M là tập hợp con không rỗng của không gian Banach, f: M$\rightarrow$M, $f^n = f\circ ...\circ f$.

CMR: Nếu $f^n$ là ánh xạ co với $n \in \mathbb{N}$ thì f sở hữu một điểm bất động duy nhất. 

Theo định luật về ánh xạ co thì $f^n$ cũng sở hữu 1 điểm bất đồng duy nhất, giả sử là x*, tức là $f^n(x*)=x*$ . Vậy thì:

$\begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ = $\begin{Vmatrix} f(f^n(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} f^n(f(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}< \alpha \begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ với $\alpha \in (0,1)$ do $f^n$ là ánh xạ co.

Do vậy f cũng là ánh xạ co $\Rightarrow$ f sở 1 điểm bất động duy nhất trong M. 

Liệu chứng minh của mình có đúng hay không? 

 


Trong chủ đề: Dựng tam giác đều với 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của tam giác cho trước

03-07-2013 - 02:48

Rất hay! Bài toán dựng tam giác đều chắc chắn là cổ điển, nhưng tôi không tìm thấy nó ở đâu trên mạng.


Trong chủ đề: Nine lines and equilateral and concyclic-ten problem

24-06-2013 - 10:29

Problem 13. $\Delta A_1B_2C_3$ is an equilateral triangle. In fact, given three equilateral sharing the same centroid $G$ as in the picture. Then $\Delta A_1B_2C_3$ is an equilateral triangle if and only if there is a triangle $ABC$ such that $\vec{A_2A_3} = \vec{BC}, \vec{B_2B_3} =\vec{CA}$ and $\vec{C_2C_3} = \vec{AB}$.


Trong chủ đề: Liệu có thể chia ba một góc 60 độ?

22-06-2013 - 03:19

Cháu dùng phần mềm để đo hay cháu dùng tính toán đó? Phần mềm của chú làm tròn nhiều quá chăng?

Giả sử cạnh của tam giác ban đầu là $2$. Có thể tính được ngay

$$\tan (\angle I_bAB')= \frac{I_bB'}{AB'} = I_bB' = \frac{3\sqrt{3} - 1}{12}$$

Từ đó

$$t=\cos (\angle I_bAB') = \sqrt{72\left(\frac{3\sqrt 3+86}{7369}\right)} $$

Đa thức cực tiểu của $t$ là 

$$7369 x^2 - 12384 x + 5184$$

Trong khi đó 

$$\frac12 = \cos (60^{\circ}) = 4\cos^3(20^{\circ}) - 3\cos (20^{\circ})$$

nên dễ thấy đa thức cực tiểu của $\cos (20^{\circ})$ là 

$$8x^3 - 6x -1 = 0$$

Đó là lý do tại sao $\cos (20^{\circ})$ không thể dựng được bằng thước và compass, trong khi $t$ thì dựng được; do vậy $t\ne \cos (20^{\circ})$. Nếu tính cụ thể

$$m\angle I_bAB' = \arctan \frac{3\sqrt{3} - 1}{12} \approx 19.27^{\circ}.$$


Trong chủ đề: Fomula generalize for morley triangle

20-06-2013 - 12:21

Bạn thử dùng Geometry Explorer xem. Chương trình này giúp khảo sát các hình khá tốt. 

 

http://homepages.gac...load-2.0.2.html

 

M.